- 1. 第2章 解析函数2.1 复变函数的导数与微分
1
- 2. 1、 复变函数的导数
定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义,当变量 在点 处取得增量
时,相应地,函数 取得增量
若极限
(或 ) (2.1)
存在,则称 在点 处可导,2
- 3. 此极限值称为 在点 处的导数,记作
或 ,即
如果函数 在区域 内每一点都可导,则称 在 内可导.
3
- 4. 例1 求函数 的导数( 为正整数).解 因为所以,由导数定义有4
- 5. 例2 求 的导数.解 由例1可知,例3 问 是否可导?解 这里,5
- 6. 设 沿着平行于 轴的直线趋向于 , 因而 ,这时极限
设 沿着平行于 轴的直线趋向于 , 因而 ,这时极限
所以 的导数不存在.6
- 7. 2、 可导与连续的关系若函数 在点 处可导,则 在点
处必连续.证 因为知 ,故 在点 处连续.7
- 8. 反之,函数 在 连续却未必在 可导,例如,例3中的函数 在复平面内处处连续却处处不可导.
3、 复变函数的微分
定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分,记作 或 ,即
8
- 9. 4、 导数运算法则
复变函数的求导法则(以下出现的函数均假设可导):
(1) 其中 为复常数;
(2) 其中 为正整数;
(3) ; (4)
(5) ;9
- 10. (6) ;
(7)
是两个互为反函数的单值函数,且 ..10
- 11. 例3 求下列函数的导数.(1)
(2)解 (1) (2) 11
- 12. 例4 设 .解 因为所以12
- 13. 2.2 解析函数2.2.1 解析函数的定义及其性质1. 解析函数的定义定义3 如果函数 不仅在点 处可导,而且在点 的某邻域内的每一点都可导,则称 在点 处解析,并称点 是函数的解析点;如果函数 在区域 内每一点都解析,则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数,区域 称为 的解析区域.区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数。13
- 14. 如果 在点 处不解析,但在 的任一邻
域内总有 的解析点,则称 为 的奇点.例1 讨论函数 的解析性.解 由例2知, 在整个复平面内处处
可导且 ,则由函数在某区域内解析的定义可知,函数 在整个复平面上解析.例如, 在复平面上以 为奇点。14
- 15. 2. 解析函数的运算性质:
(1)若函数 和 在区域 内解析,
则 、 、 在
内也解析;
(2)若函数 在区域 内解析,而
在区域 内解析,且 ,则复合函数 在 内也解析,且..15
- 16. 2.2.2 可导的必要条件
上面我们判断函数是否可导时使用了定义式,但这样不仅麻烦,甚至对某些函数判断起来会十分困难。能否有更为简单的办法判断一个函数是否可导呢?按照逻辑思维习惯,判断不可导可能会容易一些,(正如判断级数是否收敛,只需使用收敛的必要条件即可),基于这样的思想,我们首先讨论函数可导的必要条件。16
- 17. 1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件17
- 18. (1)沿平行于实轴的方向趋于零 ( )
18
- 19. (2)沿平行于虚轴的方向趋于零( )两者应该相等,故有19
- 20.
即
(2.1.7)
可以简写为
即为下述定理
定理2.1.1 若函数 于点 可导,
则在点 必有
(2.1.8)
方程(2.1.8)叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)-黎曼(Riemann)方程,或柯西-黎曼条件(简称为C-R条件). 20
- 21. 21
- 22. 2.柯西—黎曼条件的应用
例2.1.3 讨论函数 在复平面上的可导性。
【解】 注意到 ,判断 C-R条件是否成立
即 ,显然在复平面处处不满足C-R条件,故原函数在复平面处处不可导。
说明:上述例题告诉我们,用C-R条件来判断函数不可导是方便的.但当满足C-R条件时,函数就一定可导吗? 22
- 23. 23
- 24. 根据函数可导的定义式有
当 ,(且使得 ),那么当 沿射线
趋于0时,上式比值为 ,显然不同的趋向得到不同的值,故原函数在 处不可导。
本例题告诉我们即使函数满足C-R条件,仍然可能不可导.那么C-R条件还需加上什么条件才能保证函数可导呢?因此需要讨论可导的充分必要条件. 24
- 25. 2.2.2函数解析的充要条件
定理1 设函数 在区域 内有定义,则 在 内一点 可导的充分必要条件为 在点 处
(1)可微;
(2)满足
上式称为柯西—黎曼(Cauchy-Riemann)条件(或方程),简称C—R条件(或方程). 25
- 26. 26
- 27. 27
- 28. 28
- 29. 29
- 30. 30
- 31. 定理2 函数 在区域 内解析的充要条件为
(1) 在 内可微;
(2) 在 内满足C—R方程 。定理3 函数 在区域 内解析的充分条件为
(1) 在 内连续;
(2) 在 内满足C—R方程。31
- 32. 例2 讨论函数 的可导性,并求其导数.解 由得则显然,在复平面内 和 的偏导
数处处连续,32
- 33. 且即 和 处处满足C—R条件且处处
可微,所以, 在复平面内处处可导
且33
- 34. 例3 讨论函数 的可导性.解 因为得显然, 、 处处具有一阶连续偏导数,但仅当 时, 、
满足C—R条件.因此, 仅在点 处可导.34
- 35. 例4 证明 在复平面上不可微.证 由于 ,于是,从而显然,对复平面上任意一点 , 都不满足
C—R条件,所以 在整个复平面上
不可微.35
- 36. 例5 讨论下列函数的解析性.
(1) ;
(2) ;(3) .解 (1)设因为且这四个偏导数处处连续,故在复平面上处处解析.36
- 37. (2)因为 ,设 ,而所以 在复平面上处处不解析.(3) 因为设 ,由于37
- 38. 这四个偏导数虽然处处连续,但C—R条
件仅在原点处成立,因而函数
在复平面内的原点处可导,其它点不可导,
可知该函数在复平面上处处不解析.38
- 39. 2.3 初等函数39
- 40. 40
- 41. 2.3.1 指数函数1.定义: 复变量的指数函数定义为2.性质:(1)指数函数 在整个 的有限平面内都有定
义,且处处不为零.(2)(3)指数函数是以 为周期的周期函数.(4)指数函数 在整个复平面上解析,且有41
- 42. (5) ;(6)因 ,从而(7)虽然在 平面上, 但
,即不满足罗尔定理。(8)例 2.3.1 证明:对任意的复数 ,若 ,
则必有 。42
- 43. 2.3.2 对数函数
定义5 对数函数定义为指数函数的反函数.
若 ,则称 是 的对数函数,记作 .
令 , ,则有
显然,对数函数是一个多值函数,每一个 对应着多个 的值.
若令 ,则上式中的多值函数便成为了单值函数,则称这个单值函数为多值函数 的主值,记作 ,即.43
- 44. 例1 求 .解 因为 的模为 ,其辐角的主值为 ,所以而又因为 的模为 ,而其辐角的主值为 ,所以44
- 45. 复变量对数函数具有与实变量对数函数类似
的基本性质:
(1)
(2)
(3)
(4) ;
45
- 46. 注意: 等式(4)的成立应该理解为
(i) 两端可能取值的全体集合是相等的(即模相等且辐角对应的集合是相等的);
(ii) 当等式左端的对数取某一分支的值时,等式右端的对数必有某一分支(可能是另一分支)的值与之对应相等.而对于某一指定的分支上述等式未必成立;
(iii) 对于下列等式不再成立,即
不再成立,其中整数46
- 47. 47
- 48. 48
- 49. 例3 取 , 在对数主值
分支中验证上述(1)是否成立?
(对应于(ii)的说明)
【解】在主值分支中
但是显然对于指定的分支 。.49
- 50. 对数函数的解析性
可以证明 在除去原点与负实轴的
平面内解析,所以 的各个分支也在除去原
点与负实轴的 平面内解析(因 的每一
个单值连续分支与 只相差一个复常数),且
50
- 51. 2.3.3 幂函数
定义6 设 为任意复常数,定义一般幂函数为
它是指数与对数函数的复合函数,是多值函数(因 是 多值的).
幂函数的几种特殊情形:
(1)当 为整数时, , 是与 无关的单值函数( ( 为正整数)时,
为 的 次乘方,当 ( 为正整数)时, );
);51
- 52. (2)当 为有理数 时(为既约分数, )
只有 个不同的值,即当 取
时的对应值,
因此,.52
- 53. (3)当 为无理数或复数时, 有无穷多个值.
此时的 与根式函数 的区别是: 是无穷多值函数,而 是 值函数.
幂函数 的解析性:
(1)当 ( 为正整数)时, 在整个复平面内单值解析,且 ;53
- 54. (2)当 ( 为正整数)时,
在除原点的复平面内解析,且
(3)当 ( 为整数)、无理数或复数时,由于对数函数 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,因而 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的,且
.54
- 55. 例1 求 解:55
- 56. .即56
- 57. 2.3.4 三角函数
定义7 设 为任一复变量,称
与 分别为复变量 的正弦函
数与余弦函数,分别记为 与 ,即
正弦函数与余弦函数的性质:
(1) 与 都是以 为周期的周期函数,即
, 57
- 58. (2) 为奇函数, 为偶函数,即对任意的 有
(3)实变函数中的三角恒等式,在复变函数
中依然成立,如
58
- 59. (4) 在复数范围内不再成立. 如:取 ,则有
可见,当 无限增大时, 趋于无穷
大.
(5) 的零点(即 的根)为
的零点为59
- 60. (6) , 在复平面内均为解析函数,且
其它四个三角函数,利用 和 来定义 60
- 61. 例1 求解: 根据定义,有61
- 62. 2.3.5 反三角函数
定义8 如果 ,
则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数,分别记为
反三角函数与对数函数之间的关系:
(1)
(2)
(3)
62
- 63. 证(2):类似可得(1)、(3)。63
- 64. 例1解64
- 65. 解例265
- 66. 2.3.6 双曲函数
定义
, ,
分别称为双曲余弦、正弦和正切函数.
显然, 和 都是以 为周期的周期函数.
为偶函数, 为奇函数. 而且它们都是复平面内的解析函数,导数分别为:
66
- 67. 相关公式:67
- 68. 2.3.7 反双曲函数
反双曲函数定义为双曲函数的反函数.
反双曲正弦:
反双曲余弦:
反双曲正切:
68