专题三 导数应
第八讲 导数综合应
2019 年
1（2019 天津理 8）已知 aR设函数
2 2 2 1()
ln 1
x ax a xfx
x a x x
„ 关 x 等式
( ) 0fx… R 恒成立 a 取值范围
A 01 B 02 C 0e D 1e
2（2019 全国Ⅲ理 20）已知函数 32( ) 2f x x ax b
（1）讨 ()fx单调性
（2）否存 ab ()fx区间[01] 值 1 值 1？存求
出 ab值存说明理
3（2019 浙江 22）已知实数 0a 设函数 ( ) ln 1 0f x a x x x
（1） 3
4a 时求函数 ()fx单调区间
（2）意 2
1[)ex 均 ()2
xfx a 求 a 取值范围
注：e271828…然数底数
4（2019 全国Ⅰ理 20）已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x ()fx ()fx导数．证明：
（1）()fx 区间 ( 1 )2
存唯极值点
（2）()fx仅 2 零点．
5（2019 全国Ⅱ理 20）已知函数 1
1ln
x
f x x x
（1）讨 f(x)单调性证明 f(x)仅两零点
（2）设 x0 f(x)零点证明曲线 yln x 点 A(x0ln x0)处切线曲线 exy
切线
6（2019 江苏 19）设函数 ()( )( )( )fx xaxbxcabc R()f ＇ x f（x）导函
数．
（1） abcf（4）8求 a 值
（2） a≠bbc f（x） ()f ＇ x 零点均集合{ 313} 中求 f（x）极值
（3） 00 1 1a b c „ f（x）极值 M求证M≤ 4
27
．
7（2019 北京理 19）已知函数 321() 4f x x x x
（Ⅰ）求曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程
（Ⅱ） 24x 时求证： 6x f x x
(III)设 ()F x f x x a a R记 ()Fx区间 24 值 Ma
时求 a 值
8（2019 天津理 20）设函数 ( ) e cos ( )xf x x g x fx导函数
（Ⅰ）求 fx单调区间
（Ⅱ） π π42x
时证明 π( ) ( ) 02f x g x x
…
（Ⅲ）设 nx 函数 ( ) ( ) 1u x f x区间 π π2 2 π42mm
零点中 nN证
明
2
00
π2 2 sin c
e
os
n
nnxxx
20102018 年
选择题
1．（ 2017 新课标Ⅱ） 2x 函数 21( ) ( 1) xf x x ax e 极值点
21( ) ( 1) xf x x ax e 极值
A． 1 B． 32e C． 35e D．1
2．（ 2017 浙江）函数 ()y f x 导函数 ()y f x 图图示函数 图
x
y
O
O
y
x x
y
O
A． B．
x
y
O x
y
O
C． D．
3．(2016 全国 I) 函数 2 | |2 xy x e[–22]图致
A． B．
C． D．
4．（ 2015 四川）果函数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n 区间 1 22
单调递减 mn 值
A．16 B．18 C．25 D． 81
2
5．（ 2015 新课标Ⅱ）设函数 ()fx 奇函数 ( )( )f x x R 导函数 ( 1) 0f 0x 时
＇( ) ( )xf x f x 0 f (x) 0 成立 x 取值范围
A． 1 01 B． 10 1
C． 1 10 D． 01 1
6．（2015 新课标Ⅰ）设函数 ( ) (2 1)xf x e x ax a 中 1a 存唯整数 0x
0( ) 0fx a 取值范围
A． 3[ 1)2e B． 33[)24e C． 33[)24e D． 3[ 1)2e
7．（ 2014 新课标Ⅱ）函数 ( ) lnf x kx x 区间(1 ) 单调递增 k 取值范围
A． 2 B． 1 C． 2 D． 1
8．（ 2014 陕西）图修建条公路需段环湖弯曲路段两条直道滑连续（相切）
已知环湖弯曲路段某三次函数图部分该函数解析式
x
y
(千米)
(千米)
湖面
2O
y3x6yx
A． 3211
22y x x x B． 3211322y x x x
C． 31
4y x x D． 3211242y x x x
9．（2014 新课标Ⅱ）设函数 3sin xfx m
．存 fx极值点 0x 满足
222
00x f x m m 取值范围
A． 6 6 B． 4 4
C． 2 2 D． 1 1
10．（ 2014 陕西）图某飞行器 4 千米高空水飞行距着陆点 A 水距离 10 千
米处降已知降飞行轨迹某三次函数图部分函数解析式
x
y
A
面跑道
2
2
5
5 O
A． 313
125 5y x x B． 324
125 5y x x
C． 33
125y x x D． 331
125 5y x x
11．（ 2014 辽宁） [ 21]x 时等式 324 3 0ax x x 恒成立实数 a 取值范
围
A．[ 5 3] B． 9[ 6 ]8 C．[ 6 2] D．[ 4 3]
12．（ 2014 湖南） 1201xx
A． 21
21ln lnxxe e x x B． 21
21ln lnxxe e x x
C． 12
21
xxx e x e D． 12
21
xxx e x e
13．（ 2014 江西）直角坐标系中函数 2
2
ay ax x 2 3 22y a x ax x a
()aR 图．．．
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
O
14．（ 2013 新课标Ⅱ）已知函数 32f x x ax bx c 列结中错误
A． 000x R f x
B．函数 y f x 图中心称图形
C． 0x fx极值点 区间 0 x 单调递减
D． 0x fx极值点 0＇0fx
15．（ 2013 四川）设函数 ( ) exf x x a （ a R e 然数底数）曲线 xy sin
存点 )( 00 yx 00 ))(( yyff a 取值范围
A． ]e1[ B．]11e[ 1 C． [ 1e1 ] D． [ 1e 1 e 1 ]
16．（ 2013 福建）设函数 ()fx定义域 R 00( 0)xx 极值点结
定正确
A． 0()()x R f x f x B． 0x ()fx 极值点
C． ()fx 极值点 D． ()fx极值点
17．（ 2012 辽宁）函数 xxy ln2
1 2 单调递减区间
A．(－11] B．(01] C． [1+ ) D．(0+ )
18．（ 2012 陕西）设函数 () xf x xe
A． 1x ()fx极值点 B． 极值点
C． 1x 极值点 D． 极值点
19．（ 2011 福建） 0a 0b 函数 32( ) 4 2 2f x x ax bx 1x 处极值
ab 值等
A．2 B．3 C．6 D．9
20．（ 2011 浙江）设函数 2 fx ax bxcabc R 1x 函数 xf x e
极值点列图象 y f x 图象
A B C D
21．（ 2011 湖南）设直线 xt 函数 2()f x x ( ) lng x x 图分交点 MN
MN 达时t 值
A．1 B． 1
2 C． 5
2 D． 2
2
二填空题
22．（ 2015 安徽）设 3 0x ax b 中 ab均实数列条件中该三次方程仅
实根 （写出正确条件编号）
① 3 3ab ② 3 2ab ③ 3 2ab ④ 0 2ab
⑤ 1 2ab．
23．（ 2015 四川）已知函数 xxf 2)( axxxg 2)(（中 Ra ）．相等实数
21 xx 设
21
21 )()(
xx
xfxfm
21
21 )()(
xx
xgxgn
现命题：
①意相等实数 0m
②意 a 意相等实数 0n
③意 存相等实数 nm
④意 存相等实数 nm ．
中真命题 （写出真命题序号）．
24．（ 2015 江苏）已知函数 |ln|)( xxf
12|4|
100)( 2 xx
xxg 方程
1|)()(| xgxf 实根数 ．
25．（ 2011 广东）函数 32( ) 3 1f x x x x ______处取极值．
三解答题
26．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 1( ) lnf x x a xx ．
(1)讨 ()fx单调性
(2) ()fx存两极值点 12xx证明： 12
12
()() 2
f x f x axx
．
27．(2018 全国卷Ⅱ)已知函数 2( ) exf x ax ．
(1) 1a 证明： 0≥x 时 ( ) 1≥fx
(2) ()fx(0 ) 零点求 a ．
28．(2018 全国卷Ⅲ)已知函数 2() (2 )ln(1 )2f x x ax x x ．
(1) 0a 证明： 10x 时 ( ) 0fx 0x 时 ( ) 0fx
(2) 0x ()fx极值点求 a ．
29．(2018北京)设函数 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e ．
(1)曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行求 a
(2) ()fx 2x 处取极值求 a 取值范围．
30．(2018 天津)已知函数 () xf x a ( ) logag x x 中 1a ．
(1)求函数 ( ) ( ) lnh x f x x a单调区间
(2)曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切
线行证明 12
2ln ln() ln
ax g x a
(3)证明
1
eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线
切线．
31．(2018 江苏)记 ( ) ( )f x g x分函数 ( ) ( )f x g x 导函数．存 0x R满足
00()()f x g x 00()()f x g x 称 0x 函数 ()fx ()gxS 点．
(1)证明：函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x 存 点
(2)函数 2( ) 1f x ax ( ) lng x x 存 点求实数 a 值
(3)已知函数 2()f x x a e()
xbgx x ．意 0a 判断否存 0b 函
数 ()fx ()gx区间(0 ) 存 点说明理．
32．(2018 浙江)已知函数 ( ) lnf x x x．
(1) ()fx 1xx 2x ( 12xx )处导数相等证明： 12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x
(2) 3 4ln 2a ≤ 证明：意 0k 直线 y kx a曲线 ()y f x 唯
公点．
33．（ 2017 新课标Ⅰ）已知函数 2( ) ( 2)xxf x ae a e x ．
(1)讨 ()fx单调性
(2) 两零点求 a 取值范围．
34．（ 2017 新课标Ⅱ）已知函数 2( ) lnf x ax ax x x ( ) 0fx≥ ．
(1)求 a
(2)证明： ()fx存唯极值点 0x 22
0( ) 2e f x．
35．（ 2017 新课标Ⅲ）已知函数 ( ) 1 lnf x x a x ．
(1) ( ) 0fx≥ 求 a 值
(2)设 m 整数意正整数 n 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n m 求 m 值．
36．（ 2017 浙江）已知函数 ( ) ( 2 1) xf x x x e 1()2x≥ ．
（Ⅰ）求 ()fx导函数
（Ⅱ）求 区间 1[)2 取值范围．
37．（2017 江苏）已知函数 32( ) 1f x x ax bx ( 0 )abR 极值导函数 ()fx
极值点 ()fx零点．（极值点指函数取极值时应变量值）
（1）求b 关 a 函数关系式写出定义域
（2）证明： 2 3ba
（3） ()fx()fx 两函数极值 7
2 求 a 取值范围．
38．（2017 天津）设 aZ已知定义 R 函数 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a 区
间 (12) 零点 0x ()gx ()fx导函数．
（Ⅰ）求 单调区间
（Ⅱ）设 00[1 ) ( 2]m x x 函数 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m 求证： 0( ) ( ) 0h m h x
（Ⅲ）求证：存 0 常数 A意正整数 pq 00[1 ) ( 2]p xxq
满足 0 4
1||p xq Aq ．
39．（2017 山东）已知函数 2 2cosf x x x cos sin 2 2xg x e x x x 中
271828e 然数底数．
（Ⅰ）求曲线 y f x 点 ( ( ))f处切线方程
（Ⅱ）令 ()()()h x g x af x ()aR 讨 ()hx 单调性判断极值极值
时求出极值．
40．(2016 年山东)已知 2
21( ) ln Rxf x a x x ax
．
（I）讨 ()fx单调性
（II） 1a 时证明 3()＇ 2f x f x ＞ 意 12x 成立．
41．(2016 年四川) 设函数 2( ) lnf x ax a x 中 aR
（I）讨 ()fx单调性
（II）确定 a 取值 11() xf x ex
区间(1 ) 恒成立(e2718…
然数底数)．
42．(2016 年天津)设函数 3( ) ( 1)f x x ax b Rx 中 Rba
(I)求 )(xf 单调区间
(II) )(xf 存极值点 0x )()( 01 xfxf 中 01 xx 求证： 1023xx
(Ⅲ)设 0a 函数 |)(|)( xfxg 求证： )(xg 区间 ]11[ 值．．．4
1 ．
43．(2016 年全国Ⅰ) 已知函数 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x 两零点．
（I）求 a 取值范围
（II）设 1x 2x ()fx两零点证明： 122xx．
44．(2016 年全国Ⅱ)
(I)讨函数 2( ) e2
xxfx x
单调性证明 0x 时( 2)e 2 0xxx
(II)证明： [01)a 时函数 2
e ( 0)
x ax ag x xx
值．设 gx值
()ha 求函数 ()ha 值域．
45．(2016 年全国Ⅲ) 设函数 ( ) cos2 ( 1)(cos 1)f x x x 中 0
记| ( ) |fx 值 A．
（Ⅰ）求 ()fx
（Ⅱ）求
（Ⅲ）证明| ( )| 2f x A ≤ ．
46．（ 2016 年浙江高考）已知 3a≥ 函数 ()Fx 2min{2| 1| 2 4 2}x x ax a 中
min{ }pq >
p p q
q p q
≤ ．
（I）求等式 2( ) 2 4 2F x x ax a 成立 x 取值范围
（II）（ i）求 ()Fx值 ()ma
（ii）求 区间[06] 值 ()Ma．
47．(2016 江苏) 已知函数 0 0 1 1xxf x a b a b a b ．
（1）设 2a 1
2b ．
①求方程 2fx 根
②意 xR等式 26f x mf x ≥ 恒成立求实数 m 值
（2） 01a 1b 函数 2g x f x 1 零点求 ab 值．
48．(2015 新课标Ⅱ）设函数 2() mxf x e x mx ．
(Ⅰ)证明： ()fx ( 0) 单调递减(0 ) 单调递增
(Ⅱ)意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) |f x f x 1e≤ 求 m 取值范围．
49．(2015 山东)设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x 中 aR ．
（Ⅰ）讨函数 ()fx极值点数说明理
（Ⅱ） 0x ( ) 0fx≥ 成立求 a 取值范围．
50．（ 2015 湖南）已知 0a 函数 ( ) sin ( [0 ))axf x e x x ．记 nx ()fx
第 n *()nN 极值点．
证明：（1）数列{ ( )}nfx 等数列
（2）
2
1
1
a
e
≥ 切 *nN | ( ) |nnx f x 恒成立．
51．（ 2014 新课标Ⅱ）已知函数 32( ) 3 2f x x x ax 曲线 ()y f x 点（02）处
切线 x 轴交点横坐标－2．
（Ⅰ）求 a
（Ⅱ）证明： 1k 时曲线 直线 2y kx交点．
52．(2014 山东）设函数 )ln2(2 xxkx
exf
x
（ k 常数 271828e 然数
底数）．
（Ⅰ） 0k 时求函数 fx单调区间
（Ⅱ）函数 02 存两极值点求 k 取值范围．
53．（ 2014 新课标Ⅰ）设函数 21ln 12
af x a x x bx a 曲线 ()y f x 点
(1 (1))f 处切线斜率 0．
（Ⅰ）求b
（Ⅱ）存 0 1x 0 1
afx a
求 a 取值范围．
54．（ 2014 山东）设函数 1( ) ln 1
xf x a x x
中 a 常数．
（Ⅰ） 0a 求曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
（Ⅱ）讨函数 ()fx单调性．
55．(2014 广东) 已知函数 321( ) 1( )3f x x x ax a R ．
（Ⅰ）求函数 ()fx单调区间
（Ⅱ） 0a 时试讨否存 0
11(0 ) ( 1)22x 0
1()()2f x f ．
56．(2014 江苏)已知函数 xxxf ee)(中 e 然数底数．
（Ⅰ）证明：)(xf R 偶函数
（Ⅱ）关 x 等式 )(xmf ≤ 1e mx )0( 恒成立求实数 m 取值范围
（Ⅲ）已知正数 a 满足：存 )1[0 x )3()( 0
3
00 xxaxf 成立．试较 1e a
1ea 证明结．
57．（2013 新课标Ⅰ）已知函数 2( ) ( ) 4xf x e ax b x x 曲线 ()y f x 点 (0 (0))f
处切线方程 44yx．
（Ⅰ）求 ab值
（Ⅱ）讨 ()fx单调性求 ()fx极值．
58．（2013 新课标Ⅱ）已知函数 2() xf x x e ．
（Ⅰ）求 ()fx极值极值
（Ⅱ）曲线 切线l 斜率负数时求l x 轴截距取值范围．
59．（2013 福建）已知函数 ( ) 1 x
af x x e （ aR e 然数底数）．
（Ⅰ）曲线 点(1 (1))f 处切线行 x 轴求 a 值
（Ⅱ）求函数 ()fx极值
（Ⅲ） 1a 值时直线 1l y kx曲线 ()y f x 没公点求 k
值．
60．(2013 天津)已知函数 2( ) lnf x x x ．
（Ⅰ）求函数 单调区间
（Ⅱ） 证明：意 0t 存唯 s ()t f s ．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中确定 s 关t 函数 ()s g t
证明： 2te 时 2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t．
61．（2013 江苏）设函数 ( ) lnf x x ax() xg x e ax中 a 实数．
（Ⅰ） ()fx (1 ) 单调减函数 ()gx 值求 a 取值
范围
（Ⅱ） ( 1 ) 单调增函数试求 零点数证明结．
62．（2012 新课标）设函数 ( ) 2xf x e ax ．
（Ⅰ）求 单调区间
（Ⅱ） 1a k 整数 0x 时( ) ( ) 1 0x k f x x 求 k 值．
63．（2012 安徽）设函数 1( ) ( 0)x
xf x ae b aae ．
（Ⅰ）求 ()fx[0 ) 值
（Ⅱ）设曲线 ()y f x 点(2 (2))f 切线方程 3
2yx 求 ab值．
64．（ 2012 山东）已知函数 ln() x
xkfx e
（ k 常数 718282e 然数底数）
曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行．
（Ⅰ）求 值
（Ⅱ）求 单调区间
（Ⅲ）设 2()()()g x x x f x 中 ()fx 导数．
证明：意 0x 2( ) 1g x e ．
65．（ 2011 新课标）已知函数 ln() 1
a x bfx xx
曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
2 3 0xy ．
（Ⅰ）求 a b 值
（Ⅱ）证明： 0x 1x 时 ln() 1
xfx x
．
66．（ 2011 浙江）设函数 axxxaxf 22 ln)( 0a ．
（Ⅰ）求 )(xf 单调区间
（Ⅱ）求实数 a 21 ( )e f x e ≤ ≤ ]1[ ex 恒成立．注：e 然数底
数．
67．（ 2011 福建）已知 a b 常数 0a 函数 ( ) lnf x ax b ax x ( ) 2fe
（e271828…然数底数）．
（Ⅰ）求实数 值
（Ⅱ）求函数 ()fx单调区间
（Ⅲ） 1a 时否时存实数 m M( mM )t ∈[]mM
直线 yt 曲线 ()y f x ( x ∈[ 1
e
e])公点？存求出实数
实数 存说明理．
68．（ 2010 新课标）设函数 2( ) ( 1)xf x x e ax ．
（Ⅰ） 1
2a 求 ()fx单调区间
（Ⅱ） 0x≥ 时 ( ) 0fx≥ 求 a 取值范围． 专题三 导数应
第八讲 导数综合应
答案部分
2019 年
1解析 1x 时 1 1 2 2 1 0f a a 恒成立
1x 时
2
2 2 2 0 2 1
xf x x ax a a x
厖 恒成立
令 22221 1 1 2 1 1
1 1 1 1
x x xxxgx x x x x
111 2 2 1 2 011xxxx
max20a g x … 0a ．
1x 时 ln 0 ln
xf x x a x a x 厔 恒成立
令 ln
xhx x 22
1ln ln 1
ln ln
xx xxhx
xx
ex 时 0hx hx递增1ex时 0hx hx递减
ex 时 hx取值 eeh
min ea h x „
综 a 取值范围 0e ．
2解析（1） 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a ．
令 ( ) 0fx x0
3
ax
a>0 ( 0) 3
ax
时 ( ) 0fx 0 3
ax
时 ( ) 0fx ． ()fx
( 0) 3
a
单调递增 0 3
a
单调递减 a0()fx() 单调递增
a<0 (0 )3
ax
时 ( ) 0fx 03
ax
时 ( ) 0fx ．
(0 )3
a
单调递增 03
a
单调递减
（2）满足题设条件 ab 存
（i） a≤0 时（1）知 [01]单调递增 区间[0l]值 (0)fb
值 (1) 2f a b 时 ab 满足题设条件仅 1b 21ab a0
．
（ii） a≥3 时（1）知 [01]单调递减 区间[01]值
值 ．时 ab 满足题设条件仅 21ab b1
a4b1．
（iii） 0
3 27
aafb
值 b
2 ab．
3
127
a b b1 332a 0
3解析：（Ⅰ） 3
4a 时 3( ) ln 1 04f x x x x ．
3 1 (1 2)(21 1)() 4 2 1 4 1
xxf ＇ x x x x x
函数 ()fx单调递减区间（03）单调递增区间（3+ ）．
（Ⅱ） 1(1) 2f a 20 4a ．
20 4a 时 () 2
xfx a 等价 2
21 2ln 0xxxaa
．
令 1t a 22t ． 设 2( ) 2 1 2ln 2 2g t t x t x x t
() (22)8 421 2lng t g x x x ．
（i） 1 7x
时 11 2 2x
() (22)8 421 2lng t g x x x ．
记 1( ) 4 2 2 1 ln 7p x x x x x
2 2 1 2 1 2 1()
11
x x x xp＇ x xx x x x
x 1
7 1( 1)7 1 (1 )
()p＇ x 0 +
()px 1()7p 单调递减 极值 (1)p 单调递增
( ) (1) 0p x p ．
( ) (2 2) 2 ( ) 0g t g p x ．
（ii） 2
11e7x
时 1 2 ln ( 1)( ) 1
2
x x xg t g x x
…．
令 2
11( ) 2 ln ( 1) e7q x x x x x
ln 2( ) 1 0xq＇ x
x
()qx 2
11e7
单调递增 1() 7q x q
„．
（i） 1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p
．
( )<0qx ．
1 ( )( ) 1 0
2
qxg t g x x
…．
（i）（ ii）意 2
1 ex
[2 2 ) ( ) 0t g t … 意 2
1 ex
均 () 2
xfx a„．
综述求a取值范围
20 4
4解析：（1）设 ()()g x f ＇ x 1( ) cos 1g x x x
2
1sin())(1x＇ xgx
1 2x
时 ()g＇ x 单调递减 (0) 0 ( ) 02g＇ g＇
()g＇ x 1 2
唯零点设
( 1 )x 时 ( ) 0g＇ x 2x
时 ( ) 0g＇ x
()gx( 1 ) 单调递增 2
单调递减 ()gx 存唯极
值点 ()f ＇ x 存唯极值点
（2）()fx定义域( 1 )
（i） ( 10]x 时（1）知 ()f ＇ x ( 10) 单调递增 (0) 0f＇
( 10)x 时 ( ) 0f ＇ x ()fx 单调递减 (0)0f 0x
()fx( 10] 唯零点
（ii） 0 2x
时（1）知 ()f ＇ x (0 ) 单调递增 2
单调递减
(0)0f＇ 02f＇
存 2
( ) 0f＇ (0 )x 时
( ) 0f ＇ x 2x
时 ( ) 0f ＇ x ()fx(0 ) 单调递增 2
单调
递减 (0)0f 1 ln 1 022f
0 2x
时 ( ) 0fx
()fx 0 2
没零点
（iii） 2x
时 ( ) 0f ＇ x ()fx 2
单调递减 02f
( ) 0f ()fx 2
唯零点
（iv） ()x 时ln( 1) 1x ()fx<0 ()fx() 没零点
综 ()fx仅2零点
5解析：（1）f（x）定义域(01) (1 )
2
11( ) 0( 1)fx xx
()fx（01）（1+∞）单调递增．
f（e） e110e1
22
2
22
e 1 e 3(e ) 2 0e 1 e 1f
f（x）（1+∞）唯零点 x1 f（x1）0．
1
101x 1
11
11
11( ) ln ( ) 01
xf x f xxx
f（x）（01）唯零点
1
1
x ．
综f（x）仅两零点．
（2） 0ln
0
1 e x
x
点 B（–lnx0
0
1
x ）曲线 yex ．
题设知 0( ) 0fx 0
0
0
1ln 1
xx x
直线 AB 斜率
0
0
0 0 0
00 0 0
0
0
111ln 1 1
1ln
1
xxx x xk xx x xxx
． 曲线 yex 点 0
0
1( ln )Bxx 处切线斜率
0
1
x 曲线 lnyx 点 00( ln )A x x 处切线
斜率
曲线 点 处切线曲线yex切线．
6解析（1） abc 3( ) ( )( )( ) ( )f x x a x b x c x a ．
(4) 8f 3(4 ) 8a解 2a ．
（2）bc
2 3 2 2()( )( ) (2) (2 )fx xaxb x a bx babxab
2( ) 3( ) 3
abf ＇ x x b x
．令 ( ) 0f ＇ x xb 2
3
abx ．
2 3
abab 集合{ 313} 中 ab
2 1 3 33
ab ab ．
时 2( ) ( 3)( 3)f x x x ( ) 3( 3)( 1)f＇ x x x ．
令 ( ) 0f ＇ x 3x 1x ．列表：
x ( 3) 3 ( 31) 1 (1 )
()f ＇ x + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
()fx极值 2(1) (1 3)(1 3) 32f ．
（3） 0 1ac 32( ) ( )( 1) ( 1)fxxxbx x b xbx
2( ) 3 2( 1)f＇ x x b x b ．
01b 224( 1) 12 (2 1) 3 0b b b
()f ＇ x 2零点设 1 2 1 2x x x x ． ( ) 0f ＇ x
22
12
1 1 1 133
b b b b b bxx ．
列表：
x 1()x 1x 12xx 2x 2()x
()f ＇ x + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
()fx极值 1M f x ．
解法： 32
1 1 1 1( 1)M f x x b x bx
2
2 1
1 1 1
211 ( 1)[3 2( 1) ] 3 9 9 9
bbx b b bx b x b x
2 3
22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27
b b b bb bb
2
3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27
b b b b bb
( 1) 2 4
27 27 27
bb ． 4
27M ．
解法二：01b 1 (01)x ．
(01)x 时 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x ．
令 2( ) ( 1) (01)g x x x x 1( ) 3 ( 1)3g＇ x x x
．
令 ( ) 0g＇ x 1
3x ．列表：
x 1(0 )3 1
3 1( 1)3
()g＇ x + 0 –
()gx 极值
1
3x 时 ()gx取极值值 max
14() 3 27g x g
． (01)x 时 4()() 27f x g x 4
27M ．
7解析：（I） 321() 4f x x x x 23＇( ) 2 14f x x x ．
令 ＇( ) 1fx 23 2 1 14 xx 解 0x 8
3x
88(0) 0 ( ) 3 27ff
曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程 yx 88
27 3yx
64
27yx
（II）令 ()()g x f x x 24x
321() 4g x x x 23＇( ) 24g x x x
令 ＇( ) 0gx
＇( ) ( )g x g x x 变化情况表示
x 2 20 0 80 3
8
3
8 43
4
＇( )gx + +
()gx 6 Z 0 ] 64
27 0
()gx值6值 0 6 ( ) 0gx 6 ( )x f x x
（III）（II）知
3a 时 0 0 3M a F g a a
3a 时 2 2 6 3M a F g a a
3a 时 3Ma
综 Ma时
8 解析 （ Ⅰ ） 已 知 ＇( ) e (cos sin )xf x x x
52 244x k k
()k Z 时sin cosxx ＇0fx fx单调递减 32 244x k k
()k Z 时sin cosxx ＇0fx fx单调递
增
单调递增区间 32 2 ( ) ( )44k k k f x
Z 单调递减区间
52 2 ( )44k k k
Z
（Ⅱ）记 ()()() 2h x f x g x x
题意（Ⅰ） ( ) e (cos sin )xg x x x
＇( ) 2e sinxg x x
π π42x
时 ＇0gx
＇( ) ＇( ) ＇( ) ( )( 1) ＇( ) 022hxfxgx xgx gx x
hx区间 42
单调递减进 ( ) 022h x h f
…
42x
时 ( ) ( ) 02f x g x x
…
（Ⅲ）题意 10nnu x f x cose 1nx
nx
记 2nny x n 42ny
2 2e cos e cos 2 enny x n n
n n n nf y y x n N
2
0e1n
nf y f y„ （Ⅰ） 0nyy…
（Ⅱ）知 42x
时 ＇0gx gx 42
减函数
0 04ng y g y g
„ （Ⅱ）知 02n n nf y g y y
…
0
2 2 2 2
0 0 0 0 02 sin cos sin c
e e e
e os
en n n n
n
n y
nn
fyy g y g y g y y y x x
剟
2
00
2 2 sin c s
e
o
n
nnxxx
20102018 年
1．A解析∵ 21( ) [ ( 2) 1] xf x x a x a e ∵ ( 2) 0f ∴ 1a
21( ) ( 1) xf x x x e 21( ) ( 2) xf x x x e
令 ( ) 0fx 解 2x 1x ( 2)x ( ) 0fx ()fx单调递
增 ( 21)x 时( ) 0fx ()fx单调递减 (1 )x
单调递增 ()fx极值 11(1) (1 1 1) 1fe 选 A．
2．D解析导函数图象知 ()y f x 单调性减增 减 增排 AC
导函数图象知 极值点负两正 D 符合选 D．
3．D解析 0x 时令函数 2( ) 2 xf x x e ( ) 4 xf x x e 易知 ()fx [0
ln4 ）单调递增[2]单调递减 (0) 1 0f 1( ) 2 02fe
(1) 4 0fe 2(2) 8 0fe 存 0
1(0 )2x 函数 ()fx极值点
函数 0(0 )x 单调递减 0( 2)x 单调递增该函数偶函数符合
条件图 D．
4．B解析（解法） 2m 时抛物线称轴 8
2
nx m
．题意 2m 时
8 22
n
m
2 12mn ． 2262
mnmn 18mn． 2mn 2 12mn 3 6mn． 2m 时抛物线开口题意 81
22
n
m
2 18mn． 2292
mnmn 81
2mn． 2nm 2 18mn
92m 应舍 mn 取值应 2 18mn( 2 8)mn．
(18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n 值 18．选 B．
（解法二）已知 ( ) ( 2) 8f x m x n 意 1[ 2]2x ( ) 0fx ≤
1( ) 02
( ) 0
f
fx
≤
≤
0 0
2 18
22
mn
mn
mn
≥ ≥
≤
≤
．画出该等式组表示面区域图中阴影部分
示
n
m
m+2n18
2m+n12
129
6
18
O
令 mn t 0n 时 0t 0n 时 tm n 线性规划相关知识
直线 2 12mn 曲线 tm n 相切时t 取值
2
1
2
19 2
t
n
tn n
解 6n
18t max( ) 18mn 选 B．
5．A解析令 ()() fxhx x ()fx奇函数 ()hx 偶函数
2
()()() xf x f xhx x
0x > 时 ＇( ) ( )xf x f x 0 ()hx (0 )
单调递减根称性 ()hx ( 0) 单调递增 ( 1) 0f (1) 0f
数形结合知 ( ) 0fx> 成立 x 取值范围 1 01 ．
6．D解析题意知存唯整数 0x 0
00(2 1) xe x ax a 设
( ) (2 1)xg x e x ()h x ax a ( ) (2 1)xg x e x 知 ()gx 1()2
单调递减 1()2 单调递增作出 ()gx ()hx 致图象图示 x
y
g(x)ex(2x1)
h(x)axa
–3 –2 –1 1 2
–1
1
2
3
O
(0) (0)
( 1) ( 1)
hg
hg≤
1
32
a
a e
≤ 3 12 ae <≤ ．
7．D解析∵ ( ) lnf x kx x ∴ 1()f x k x
∵ ()fx (1 ) 单调递增
1x 时 1( ) 0f x k x
≥ 恒成立 1k x
≥ 恒成立
∵ 1x ∴ 101x k ≥1选 D．
8．A解析法 题意知该三次函数满足条件：点(00)(20)(0
0)处切线方程 yx (20)处切线方程 36yx选项进行检验．A
选项 3211
22y x x x 显然两定点 23 12y x x
02| 1 | 3xxyy 条件满足选择题特点知应选 A．
法二 设该三次函数 32()f x ax bx cx d 2( ) 3 2f x ax bx c
题设
(0) 0
(2) 0
(0) 1
(2) 3
f
f
f
f
解 11 1 022a b c d ．
该函数解析式 3211
22y x x x 选 A．
9．C解析正弦型函数图象知： fx极值点 0x 满足 0( ) 3fx
0 22
x km
()kZ 0
1()()2x k m k Z ．等式
2 2 2
00[]x f x m 2 2 21( ) 32k m m 变形 2 1[1 ( )] 32mk
中 kZ ．题意存整数 k 等式 成立． 1k 0k 时必 21( ) 12k 时等式显然成立
1k 0k 时等式 23 34 m 解 2m 2m ．
10．A解析设求函数解析式 ()y f x 题意知 (5) 2 5 2ff （）
( 5) 0f 代入验证易 313
125 5y x x符合题意选 A．
11．C解析 (01]x 时 321 1 13( ) 4( )a x x x ≥ 令 1t x [1 )t
3234a t t t ≥ 令 ()gt 3234t t t
29 8 1 ( 1)(9 1)g x t t t t 显然[1 ) 0gt
()gt单调递减 max( ) (1) 6g t g 6a ≥
理 [ 20)x 时 2a ≤ ．两种情况 62a≤ ≤ ．
显然 0x 时成立实数 a 取值范围[ 6 2]．
12．C解析设 ( ) lnxf x e x 1() xf x e x
()fx (01) 极值点
()fx 单调函数法判断 1()fx 2()fx AB 错构造
函数 ()
xegx x 2
( 1)()
xexgx x
()gx 单调递减 12g x g x
选 C．
13．解析B 0a 图象 D记 2() 2
af x ax x 2 3 2( ) 2g x a x ax
()x a a R取 1
2a 211( ) ( 1)24f x x 令 ( ) 0gx 2 23x 易知
()gx极值 1(2) 2g 1(2) 4f (2) (2)gf 图象 A
理取 2a 图象 C 利排法知选 B．
14．C解析 0c (0) 0f A 正确． 32()f x x ax bx c
32()f x c x ax bx 函数 32y x ax bx 称中心（00）
称中心(0 )c B 正确．三次函数图象
知 0x ()fx极值点极值点 左侧函数区间 0()x 单调递减错误D 正确．选 C．
15．A解析法：题意 00sinyx [ 11]
( ) exf x x a 知 0 [01]y
0a 时 ()fx＝ ex x 增函数
∴ 时 0( ) [1 1]f x e．
∴ 0( ( )) 1 1f f y e≥ ．
∴ 存 00 ))(( yyff 成立 BD 错
1ae时 ＝ e e 1x x
时 0 1y 时 意义 (1) 0f
∴ ( (1)) (0)f f f 显然意义 C 错．选 A．
法二：显然函数 ()fx增函数 ( ) 0fx≥ 题意知 0 [01]y ．
00()f y y ．然话 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y
条件矛盾 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y条件矛盾．
问题转化 ()f t t [01] 解．
tt e t a 2 tt e t a 分离变量 2() ta g t e t t [01]t
( ) 2 1 0tg t e t
函数 ()gt[01] 增函数1 (0) ( ) (1)g g t g e≤ ≤
[1 ]ae 应选 A．
16．D解析A． 0()()x R f x f x 错误． 00( 0)xx ()fx极值点
值点B． 0x ()fx 极值点．错误． 相 关 y 轴称
图 应 极值点C． ()fx 极值点．错误． 相
关 x 轴称图 0x 应 极值点． 没关系D．
()fx极值点．正确． 相 先关 y 轴称关 轴
称图． D 正确． 17．B解析∵ 21 ln2y x x∴ 1yxx
0y„解 11x 剟 0x
∴ 01x „ 选 B．
18．D解析 () xf x xe ( ) ( 1)xf x e x 0xe 恒成立令 ( ) 0fx 1x
1x 时 ( ) 0fx 函数单调减 1x 时 ( ) 0fx 函数单调增
1x ()fx极值点选 D．
19．D解析 2( ) 12 2 2f x x ax b (1) 0f 12 2 2 0ab
6ab． 0a 0b 2( ) 92
abab ≤ 仅 3ab时取等号．选
D．
20．D解析 1x 函数 ()xf x e 极值点易知 ac ∵选项 AB 函数
2( ) ( 1)f x a x∴[()][() ()] ( 1)( 3)x x xfxe fx fxe ax x e
∴ 函数 极值点满足条件选项 C 中称轴 02
bx a
开口∵ 0 0ab∴ ( 1) 2 0f a b 满足条件
选项 D 中称轴 02
bx a 开口∴ 0 2a b a
∴ 题图矛盾选 D．
21．D解析题 2| | lnMN x x ( 0)x 妨令 2( ) lnh x x x
1＇( ) 2h x x x令 ＇( ) 0hx 解 2
2x 2(0 )2x 时 ＇( ) 0hx
2()2x 时 ＇( ) 0hx 时||MN 达．
2
2t ．
22．①③④⑤ 解析 令 32( ) ( ) 3f x x ax b f x x a 0a 时 ( ) 0fx
()fx R 单调递增函数时 3 0x ax b 仅实根(4)(5)
3a 时 2( ) 3 3 0f x x 11x 1x 极值点． (1) 0f 31 3 1 0b 2b (3)． 1x ()fx极值点
( 1) 0f 3( 1) 3 ( 1) 0b 2b (1)．
23．①④解析（1）设 12x > x 函数 2x 单调递增 122 >2xx 120xx>
m 12
12
()()f x f x
xx
12
12
22xx
xx
>0正确
（2）设 1x > 2x 120xx 12
12
()()g x g xn xx
22
1 2 1 2
12
()x x a x x
xx
+
1 2 1 2
12
12
( )( )x x x x a x x axx
+ + + +
令 1 2 4a
10n 错误
（3） mn （2）：
21
21 )()(
xx
xfxf
12x x a 分母右边
右边 12()()g x g x 原等式 12()()f x f x 12()()g x g x
12()()f x g x 12()()f x g x令 ()()()h x f x g x
原题意转化意 a 函数 ()()()h x f x g x存相等实数
函数值相等 2( ) 2xh x x ax ( ) 2 ln 2 2xh x x a
( ) 2 (ln 2) 2xhx 令 0( ) 0hx 012x 0()hx 极值．
10000a 0( ) 0hx 0( ) 0hx ()hx 单调递增满足题意
错误．
（4）(3) 12()()f x f x 12()()g x g x 1 1 2 2()()()()f x g x g x f x
设 ()()()h x f x g x 1x 2x 函数值相等 恒单调．
2( ) 2xh x x ax ( ) 2 ln 2 2xh x x a 2( ) 2 ln 2 2 0xhx 恒成立
()hx 单调递增 ( ) 0h ( ) 0h ． 先减增满足题意正
确．
24．4解析01x< ≤ 时 ( ) lnf x x ( ) 0gx 时方程| ( ) ( ) | 1f x g x+ ln 1x ln 1x xe 1x e 时 1x e 符合题意方程实根．
12x<<时 ( ) lnf x x 22( ) 4 2 2g x x x 方程| ( ) ( ) | 1f x g x+
2ln 2 1xx+ 2ln 2 1xx+ 2ln 1 0xx+ 2ln 3 0xx+
令 2ln 1y x x + 1 20yxx
¢ < 函数 (12)xÎ 单调递减
1x 时 0y 12x<<时方程 2ln 1 0xx+ 解令 2ln 3y x x +
1 20yxx
¢ < 函数 单调递减 1x 时 20y >
2x 时 ln 2 1 0y < 12x<<时方程 2ln 3 0xx+ 实根．
2x≥ 时 ( ) lnf x x 2( ) 6g x x方程 2ln 6 1xx+
2ln 6 1xx+ 2ln 7 0xx+ 2ln 5 0xx+ 令 2y ln 7xx +
1 20yxx
¢ + > 函数 [2 )x单调递增 2x 时
ln 2 3 0y < 3x 时 ln3 2 0y + > 2x≥ 时方程
1 实根理 1 实根．
方程 1|)()(| xgxf 实根数 4 ．
25．2解析题意 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x 令 ( ) 0fx 0x 2x ．
0x 2x 时 ( ) 0fx 02x时 ( ) 0fx ．
∴ 2x 时 ()fx取极值．
26．解析(1) ()fx定义域(0 )
2
22
11( ) 1 a x axfx x x x
．
（i） 2≤a ( ) 0 ≤fx 仅 2a 1x 时 ( ) 0fx
单调递减．
（ii） 2a 令 ( ) 0fx
2 4
2
aax
2 4
2
aax ．
2244(0 ) ( )22
a a a ax U 时 ( ) 0fx
2244()22
a a a ax 时 ( ) 0fx ． ()fx
2 4(0 )2
aa
2 4()2
aa 单调递减
2244()22
a a a a 单调递增．
(2)(1)知 存两极值点仅 2a ．
两极值点 1x 2x 满足 2 10x ax 12 1xx 妨设 12xx
2 1x ．
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx
12
12
()() 2f x f x axx
等价 22
2
1 2ln 0xxx ．
设函数 1( ) 2lng x x xx (1)知 ()gx (0 ) 单调递减 (1) 0g
(1 )x 时 ( ) 0gx ．
．
27．解析(1) 1a 时 ( ) 1≥fx 等价 2( 1)e 1 0≤xx ．
设函数 2( ) ( 1) 1 xg x x e 22( ) ( 2 1) ( 1) xxg＇ x x x e x e ．
1x 时 ( ) 0g＇ x ()gx (0 ) 单调递减．
(0) 0g 0≥x 时 ( ) 0≤gx ( ) 1≥fx ．
(2)设函数 2( ) 1 e xh x ax ．
()fx (0 ) 零点仅 ()hx 零点．
（i） 0≤a 时 ( ) 0hx 没零点
（ii） 0a 时 ( ) ( 2)e xh＇ x ax x ．
(02)x 时 ( ) 0h＇ x (2 ) x 时 ( ) 0h＇ x ． ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增．
2
4(2) 1 eah [0 ) 值．
① (2) 0h
2e
4a (0 ) 没零点
② (2) 0h
2e
4a 零点
③ (2) 0h
2e
4a (0) 1h (02) 零点
(1)知 0x 时 2e x x
3 3 3
4 2 2 4
16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 ) aa
a a aha aa
．
(24 )a 零点 两零点．
综 ()fx 零点时
2e
4a ．
28．解析(1) 0a 时 () (2 )ln(1 ) 2f x x x x ( ) ln(1 ) 1
xf x x x
．
设函数 ( ) ( ) ln(1 ) 1
xg x f x x x
2() (1 )
xgx x
．
10x 时 ( ) 0gx 0x 时 ( ) 0gx ．
1x 时 ( ) (0) 0g x g ≥ 仅 0x 时 ( ) 0gx ( ) 0fx ≥
仅 时 ( ) 0fx ．
()fx ( 1 ) 单调递增．
(0) 0f 时 ( ) 0fx 0x 时 ( ) 0fx ．
(2)（i） 0a≥ (1)知 0x 时 ( ) (2 )ln(1 ) 2 0 (0)f x x x x f ≥
极值点矛盾．
（ii） 0a 设函数 22
( ) 2( ) ln(1 )22
f x xh x xx ax x ax
． 1| | min{1 }||x a 时 220x ax ()hx ()fx符号相．
(0) (0) 0hf 0x 极值点仅 0x 极值点．
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2(2 )2(12) ( 4 61)() 1 (2 ) ( 1)( 2)
xax x ax xax ax ahx x x ax x ax x
．
果6 1 0a 610 4
ax a
时 ( ) 0hx
极值点．
果6 1 0a 22 4 6 1 0a x ax a 存根 1 0x
1( 0)xx 时 ( ) 0hx 极值
点．
果6 1 0a
3
22
( 24)() ( 1)( 6 12)
xxhx x x x
． ( 10)x 时
(01)x 时 ． 极值点 极
值点
综 1
6a ．
29．解析(1) 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e
2()[2 (4 1)] [ (4 1) 4 3]xxfx ax a eax axae （ xR）
2[ (2 1) 2] xax a x e ．
(1) (1 )f a e ．
题设知 (1) 0f (1 ) 0ae解 1a ．
时 (1) 3 0fe．
a 值 1．
(2)(1) 2( ) [ (2 1) 2] ( 1)( 2)xxfxax ax e ax x e ． 1
2a 1( 2)x a 时 ( ) 0fx
(2 )x 时 ( ) 0fx ．
( ) 0fx 2x 处取极值．
1
2a ≤ (02)x 时 20x 11 1 02ax x ≤
．
2 ()fx极值点．
综知 a 取值范围 1()2 ．
30．解析(1)已知 ( ) lnxh x a x a ( ) ln lnxh x a a a ．
令 ( ) 0hx 解 0x ．
1a 知 x 变化时 ()hx ()hx 变化情况表：
x ( 0) 0 (0 )
()hx 0 +
()hx 极值
函数 单调递减区间 单调递增区间 ．
(2)证明： ( ) lnxf x a a 曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线斜率
1 lnxaa． 1() lngx xa
曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切线斜率
2
1
lnxa
．两条切线行 1
2
1ln ln
xaaxa 1 2
2 (ln ) 1xx a a ．
两边取 a 底数 21log 2log ln 0aax x a 12
2ln ln() ln
ax g x a ．
(3)证明：曲线 ()y f x 点 1
1()xxa 处切线 1l ： 11
1ln ( )xxy a a a x x ．
曲线 ()y g x 点 22( log )axx处切线 2l ： 22
2
1log ( )lnay x x xxa ．
证明
1
eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线 切线需证明
1
eea≥ 时存 1 ()x 2 (0 )x l1 l2 重合．
需证明 时方程组
1
11
2
12
1ln ln
1ln log ln
x
xx
a
aaxa
a x a a x a
①
②
解
①
12 2
1
(ln )xx aa 代入② 11
11
1 2ln lnln 0ln ln
xx aa x a a x aa ． ③
需证明 时关 1x 方程③实数解．
设函数 1 2ln ln( ) ln ln ln
xx au x a xa a x aa
证明 时函数 ()y u x 存零点．
2( ) 1 (ln ) xu x a xa 知 ( 0)x 时( ) 0ux (0 )x 时()ux 单调递
减 (0) 1 0u 2
1
(ln )
2
1( ) 1 0(ln )
auaa
存唯 0x 0 0x 0( ) 0ux 02
01 (ln ) 0xa x a．
()ux 0()x 单调递增 0()x 单调递减．
0xx 处取极值 0()ux ．
ln(ln ) 1a ≥
00
0 0 0
1 2ln ln( ) ln ln ln
xx au x a x a a x aa
02
0
1 2ln ln 2 2ln ln 0(ln ) ln ln
aaxx a a a
≥ ≥ ．
面证明存实数t ( ) 0ut ．
(1) 1 lnxa x a≥
1
lnx a 时
1 2ln ln( ) (1 ln )(1 ln ) ln ln
au x x a x a x aa ≤
22 1 2ln ln(ln ) 1 ln ln
aa x x aa 存实数t ( ) 0ut
1
eea≥ 时存 1 ()x 1( ) 0ux ．
时存直线l 曲线 ()y f x 切线曲线 ()y g x
切线．
31．解析(1)函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x ( ) 1fx ( ) 2 2g x x ．
()()f x g x ()()f x g x
2 22
1 2 2
x x x
x
方程组解
()fx ()gx存S 点．
(2)函数 2( ) 1f x ax( ) lng x x
1( ) 2 ( )f x ax g x x ．
设 0x 点 00()()f x g x 00()()f x g x
2
00
0
0
1 ln
12
ax x
ax x
2
00
2
0
1 ln
21
ax x
ax
（ *）
0
1ln 2x
1
2
0 ex
1
22
1e
22(e )
a
．
e
2a 时
1
2
0 ex
满足方程组（*） 0x 点．
a 值 e
2
．
(3)意 0a 设 32( ) 3h x x x ax a ．
(0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a ()hx 图象间断
存 0 (01)x 0( ) 0hx ．令
0
3
0
0
2
e (1 )x
xb x
0b ．
函数 2 e()()
xbf x x a g x x 2
e ( 1)( ) 2 ( )
xbxf x x g x x
′′．
()()f x g x ()()f x g x
2
2
e
e ( 1)2
x
x
bxa x
bxx x
0
0
3
2 0
0
3
0
2
0
2 e
e (1 )
2 e ( 1)2 e (1 )
x
x
x
x
xxa xx
x xx xx
（**）
时 0x 满足方程组（**） 函数 ()fx ()gx区间(01) S 点．
意 0a 存 0b 函数 区间(0 ) 存 点．
32．解析(1)函数 ()fx导函数 11()
2
fx xx
12()()f x f x
1212
1 1 1 1
22xxxx
12xx
12
1 1 1
2xx
．
基等式 4
1 2 1 2 1 2
1 22 x x x x x x≥ ．
12 256xx ．
题意 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1( ) ( ) ln ln ln( )2fxfx x xx x xx xx ．
设 1( ) ln2g x x x
1( ) ( 4)4g x xx
x (016) 16 (16 )
()gx 0 +
()gx 2 4ln 2
()gx[256 ) 单调递增
12( ) (256) 8 8ln 2g x x g 12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x ．
(2)令 (| | )akme 2| | 1( ) 1an k
( ) | | 0f m km a a k k a ≥
1 | | 1( ) ( ) ( ) 0aaf n kn a n k n knnn
≤
存 0 ()x m n 00()f x kx a
意 aR (0 )k 直线 y kx a曲线 ()y f x 公点．
()f x kx a lnx x ak x
．
设 ln() x x ahx x
22
ln 1 ( ) 12()
xxag x ahx xx
中 ( ) ln2
xg x x．
(1)知 ( ) (16)g x g≥ 3 4ln 2a ≤
( ) 1 (16) 1 3 4ln 2g x a g a a ≤
( ) 0hx ≤ 函数 ()hx (0 ) 单调递减方程 ( ) 0f x kx a
1 实根．
综 时意 0k 直线 曲线 唯
公点．
33．解析（1）()fx定义域 ()
2()2 ( 2) 1( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e
（ⅰ） 0a≤ ( ) 0fx ()fx 单调递减．
（ⅱ） 0a ( ) 0fx lnxa ． ( ln )xa 时 ( ) 0fx ( ln )xa 时( ) 0fx
()fx ( ln )a 单调递减( ln )a 单调递增．
（2）（ⅰ） 0a≤ （1）知 零点．
（ⅱ） 0a （1）知 lnxa 时 取值值
1( ln ) 1 lnf a aa ．
① 1a 时 ( ln ) 0fa ()fx零点
② (1 )a 时 11 ln 0aa ( ln ) 0fa 没零点
③ (01)a 时 11 ln 0aa ( ln ) 0fa．
4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ()fx ( ln )a 零点．
设正整数 0n 满足 0
3ln( 1)n a
0 0 0 0
0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n ．
3ln( 1) ln aa ( ln )a 零点．
综 a 取值范围(01) ．
34．解析（1）()fx定义域 (0 ) ．
设 ( ) lng x ax a x ()()f x xg x ( ) 0fx≥ 等价 ( ) 0gx≥ ．
(1) 0g (1) 0g 1()g x a x
(1) 1ga 1a ．
1a 1( ) 1gx x
．01x时 ( ) 0gx ()gx单调递减 1x 时
( ) 0gx 单调递增． 1x 极值点 ( ) (1) 0g x g ≥ ．
综 ．
（2）（1）知 2( ) lnf x x x x x ( ) 2 2 lnf x x x ．
设 ( ) 2 2 lnh x x x 1( ) 2hx x
．
1(0 )2x 时 ( ) 0hx 1()2x 时 ( ) 0hx ． ()hx 1(0 )2
单调递减 1()2 单调递增．
2( ) 0he 1( ) 02h (1) 0h ()hx 1(0 )2
唯零点 0x 1[)2
唯零点 1 0(0 )xx 时 ( ) 0hx 0( 1)xx 时 ( ) 0hx (1 )x 时
．
()()f x h x 0xx ()fx唯极值点．
0( ) 0fx 00ln 2( 1)xx 0 0 0( ) (1 )f x x x．
0 (01)x 0
1() 4fx ．
0xx ()fx(01) 值点 1 (01)e 1( ) 0fe
12
0()()f x f e e．
22
0( ) 2e f x．
35．解析（1）()fx定义域 (0 ) ．
① a 0≤ 11( ) ln 2 022fa 满足题意
② ＞0a 1 a x af ＇ x xx
知 0x a 时 ＜0f ＇ x +xa
时 ＞0f ＇ x (0 )a 单调递减 ()a 单调递增 xa
(0 ) 唯值点．
10f 仅 a1 时 ( ) 0fx≥ ．
a1．
（2）（1）知 (1 )x 时 1 ln 0xx
令 11 2nx 11ln(1 )22nn
22
1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 12 2 2 2 2 2 2n n n
2
1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n e
23
1 1 1(1 )(1 )(1 ) 22 2 2 m 值 3． 36．解析（Ⅰ） 1( 2 1) 1
21
xx
x
()xxee
1( ) (1 ) ( 2 1)
21
xxf x e x x e
x
(1 )( 2 1 2)
21
xx x e
x
1()2x
（Ⅱ） (1 )( 2 1 2)( ) 0
21
xx x efx
x
解 1x 5
2x ．
x 1
2 （1） 1 （1 5
2
） （ ）
()fx 0 + 0
()fx
↘ 0 ↗ ↘
21( ) ( 2 1 1) 02
xf x x e ≥
区间 1[)2 取值范围
1
21[0 ]2 e
．
37．解析（1） 32( ) 1f x x ax bx
2
22( ) 3 2 3( )33
aaf x x ax b x b
3
ax 时 ()fx 极值
2
3
ab
极值点 ()fx零点
33
( ) 1 03 27 9 3
a a a abf 0a
223
9
ab a
极值 ( )0fx 实根
2
31 (27 a ) 039
ab a 3a
3a 时 ( )>0( 1)f x x R 增函数 没极值 3a 时 ( )0fx 两相异实根
2
1
3 3
a a bx
2
2
3 3
a a bx
列表
x 1()x 1x 12()xx 2x 2()x
()fx + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
极值点 12xx
223
9
ab a定义域(3 )
（2）（1）知 23
9
b a a
a a a
．
设 23() 9
tgt t
2
22
2 2 2 27() 39
tgt tt
．
36()2t 时 ( ) 0gt ()gt 36()2 单调递增．
3a 33aa ( ) (3 3) 3g a a g 3b
a
．
2 3ba ．
（3）（1）知 极值点 12
2
3x x a
2
22
12
46
9
abxx
3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1fx fx x ax bx x ax bx
2 2 2 212
1 1 2 2 1 2 1 2
12(32 )(32 )( )( )23 3 3 3
xxx axb x axb axx bxx
34 6 4 2027 9
a ab ab
记 极值 ()ha ()fx 极值
2
213
39
abaa 213( ) 9h a a a 3a
2
23( ) 09h a a a
()ha (3 ) 单调递减
7(6) 2h ( ) (6)h a h≥ 6a≤
a 取值范围(3 6]
38．解析（Ⅰ） 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a
32( ) ( ) 8 9 6 6g x f x x x x
进 2( ) 24 18 6g x x x 令 ( ) 0gx 解 1x 1
4x
x 变化时 ( ) ( )g x g x 变化情况表：
x ( 1) 1( 1 )4 1()4
()gx + +
()gx ↗ ↘ ↗
单调递增区间 单调递减区间
（Ⅱ）证明： 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m 0( ) ( )( ) ( )h m g m m x f m
0 0 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m
令函数 10( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x 10( ) ( )( )H x g x x x
（Ⅰ）知 [12]x 时 ( ) 0gx 0[1 )xx 时 1 ( ) 0Hx 1()Hx单调
递减 0( 2]xx 时 1 ( ) 0Hx 单调递增 00[1 ) ( 2]x x x 时
1 1 0 0( ) ( ) ( ) 0H x H x f x 1( ) 0 ( ) 0H m h m
令函数 2 0 0( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x 20()()()H x g x g x （ Ⅰ）知
[12] 单调递增 时 2 ( ) 0Hx 2 ()Hx单调递增 时
2 ( ) 0Hx 单调递减 时 2 2 0( ) ( ) 0H x H x
20( ) 0 ( ) 0H m h x 0( ) ( ) 0h m h x
（Ⅲ）证明：意正整数 p q 00[1 ) ( ] 2p xxq
令 pm q 函数 0( ) ( )( ) ( )h g m xx x mf
（Ⅱ）知 0[1 )mx 时 ()h x 区间 0()mx 零点
0( 2]mx 时 区间 0()xm零点
(12) 少零点妨设 1x
11 0( ) ( )( ) ( ) 0pph g x fqx qx
（Ⅰ）知 ()g x [12] 单调递增 10 ( ) ( )12()g xgg
4 3 2 2 3 4
0 4
1
( ) | ( ) | | 2 3 3 6 || | | |()()(2 )2
ppffp p p q p q pq aqqqxq g x g g q
≥
[1 2]x 时 ( ) 0g x ()f x [12] 单调递增
区间 0x 外没零点 0
p xq ( ) 0pf q
a 均整数 4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 |p p q p q pq aq 正整数
4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 | 1p p q p q pq aq ≥
0 4
1| 2| ()
p xq g q ≥ 取 ()2Ag 0 4
1||p xq Aq ≥
39．解析（Ⅰ）题意 2 2f
2 2sinf x x x
2f
曲线 y f x 点 f处切线方程
2 22yx
222yx ． （Ⅱ）题意 2( ) (cos sin 2 2) ( 2cos )xh x e x x x a x x
cos sin 2 2 sin cos 2 2 2sinxxhxexxx e xx ax x
2 sin 2 sinxe x x a x x
2 sinxe a x x
令 sinm x x x
1 cos 0m x x
mx R 单调递增．
(0) 0m
0x 时 ( ) 0mx
0x 时 0mx
(1) 0a 时 xea 0
0x 时 0hx hx单调递减
0x 时 0hx 单调递增
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha
(2) 0a 时 ln2 sinxah x e e x x
0hx 1 lnxa 2 0x
① 01a时 ln 0a
lnxa 时 ln 0 0xae e h x hx单调递增
ln 0xa 时 ln 0 0xae e h x 单调递减
0x 时 ln 0 0xae e h x 单调递增．
lnxa 时 hx取极值．
极值 2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha ② 1a 时 ln 0a
x 时 0hx 函数 hx 单调递增极值
③ 1a 时 ln 0a
0x 时 ln 0xaee 0h x h x 单调递增
0lnxa 时 0h x h x 单调递减
ln xa 时 ln 0xaee 单调递增
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha
lnxa 时 hx取极值．
极值 2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ．
综述：
0a 时 hx 0 单调递减 0 单调递增
函数 hx极值极值 0 2 1ha
01a时函数 hx lna 0lna 0 单调递增 ln 0a 单
调递减函数 hx极值极值
极值
极值
时函数 单调递增极值
时函数 hx 0 ln a 单调递增
0lna 单调递减函数 hx极值极值
极值
极值 ．
40．解析(Ⅰ) 3
22)11()(′
x
x
xaxf －－－ 3
2 2)(1( x
axx )－－
0a≤ 时 (01)x 0>)(′xf )(xf 单调递增
(1 )x 0<)(′xf 单调递减
0>a 时 33
2
2+(2)(1(
2)(1()(′
x
axaxxa
x
axxxf
))－－)－－
①02a时 1>2
a
2()x a 0>)(′xf )(xf 单调递增
2(1 )x a 0<)(′xf )(xf 单调递减
② 2a 时 12
a (0 )x ( ) 0fx ≥ 单调递增
③ 2a 时 1<2<0 a
2(0 )x a (1 )x 单调递增
2( 1)x a 单调递减
(Ⅱ) (Ⅰ)知 1a 时 2
21( ) ln xf x x x x
2
3 2 3
( 1)( 2 1 2( ) 1xxfx x x x x
)2
2 2 3
2 1 1 2( ) ( ) ln 1 )xf x f x x x x x x x
2(
23
32lnxx x x x 11 ]21[x
令 g( ) lnx x x 23
32()hx x x x 11 ( ) ( ) g( ( )f x f x x h x ）
1g ( ) 1 0xx xx
1 ≥ )g( x 值 1g(1)
2
2 3 4 4
3 2 6 3 2 6() xxhx x x x x
设 2( ) 3 2 6x x x ()x ]21[x 单调递减 (1) 1 (2) 10
存 ]21[0 ∈x 0( ) 0x
0<<1 xx 时 ( ) 0x )(xh 单调递增
2<<0 xx 时 ( ) 0x )(xh 单调递减
1)1(h 2
1)2(h )(xh 值 2
1)2(h ．
13() () g( () g(1 (2)1 22f x f x x h x h ））．
2
3)()( xfxf 意 成立．
41．解析（I）题意
21 2 1＇ 2 0axf x ax xxx
① 0a „ 时 22 1 0ax ＇0fx fx 0 单调递减
② 0a 时令 ( ) 0fx 1
2
x
a
1(0 )2x a 时 ＇0fx
1()2x a 时 ＇0fx
fx 1(0 )2a
单调递减 1()2a 单调递增
（II）令 1
11() xgx xe 1() xs x e x． 1( ) 1xs x e ． 1x 时
( ) 0sx ()sx区间(1 ) 单调递增． (1) 0S ( ) 0sx
1x 时 ( ) 0gx ．
0a „ 1x 时 2( ) ( 1) ln 0f x a x x ．
()()f x g x 区间 恒成立时必 0a ． 10 2a时 1 1
2a
．
（I） 1( ) (1) 0
2
ff
a
1( ) 0
2
g
a
时 ()()f x g x 区间(1 ) 恒成立．
1
2a … 时令 ( ) ( ) ( )( 1)h x f x g x x …．
1x 时 1
22
1 1 1 1 1( ) 2 xh x ax e xx x x x x
32
22
2 1 2 1 0x x x x
xx
()hx区间(1 ) 单调递增．
(1) 0h 1x 时 ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x ()()f x g x 恒成立．
综 1[)2a
42．解析(I) 31f x x ax b 2( ) 3( 1)f x x a
面分两种情况讨：
① 0a „ 2( ) 3( 1) 0f x x a … 恒成立 ()fx R 单调递增
② 0a 令 ( ) 0fx 解 31 3
ax 31 3
ax ．
x 变化时 )(＇ xf )(xf 变化情况表：
x )3
31( a
3
31 a )3
313
31( aa
3
31 a )3
31( a
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极值 单调递减 极值 单调递增
fx 1 3
a
单调递增 1 133
aa
单调递减 13
a
单
调递增
(II) ()fx存极值点(I)知 0a 0 1x ．
题意 2
00( ) 3( 1) 0f x x a 2
0( 1) 3
ax 3
0 0 0( ) ( 1)f x x ax b 0
2
33
aaxb
32
0 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b
2
0 0 01 8 8 9 6x x x b
2
00 1 2 1x x b
∴ 00(3 2 ) ( )f x f x
0032xx题意(I)知存唯实数 1x 满足 10()()f x f x 10xx
1032xx 1023xx
（Ⅲ）证明：设 )(xg 区间 ]20[ 值 M}max{ yx 表示 yx 两数
值面分三种情况理：
（1） 3a 时 331 0 2 133
aa 剟 （Ⅰ）知 )(xf 区间 单
调递减 )(xf 区间 取值范围 )]0()2([ ff ()gx区间[02]
值
|}1||21max{||})0(||)2(max{| bbaffM
|})(1||)(1max{| baabaa
1 ( ) 0
1 ( ) 0
a a b a b
a a b a b
… 1 | | 2M a a b …
（2） 3 34 a „ 时 2 3 3 3 2 31 0 1 1 2 13 3 3 3
a a a a 剟
（Ⅰ）（Ⅱ）知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f …
2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f „
区间 取值范围 )]3
31()3
31([ afaf
33max{| (1 ) || (1 ) |}33
aaM f f 22max{| 3 || 3 |}99
aaa a b a a b
|})(39
2||)(39
2max{| baaabaaa
2 2 3 3 13 | | 39 9 4 4 4
a a a b …
（3） 30 4a时 2 3 2 30 1 1 233
aa
（Ⅰ）（Ⅱ）知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f
2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f
()fx区间[02]取值范围[ (0) (2)]ff
max{| (0) || (2) |} max{| 1 ||1 2 |}M f f b a b
|})(1||)(1max{| baabaa
11 | | 4a a b ．
综述 0a 时 ()gx区间[02]值 1
4
．
43．解析（Ⅰ） ＇( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )xxf x x e a x x e a ．
（i）设 0a ( ) ( 2) xf x x e ()fx零点．
（ii）设 0a ( 1)x 时 ＇( ) 0fx (1 )x 时 ＇( ) 0fx ．
()fx ( 1) 单调递减(1 ) 单调递增．
(1)fe (2)fa 取b 满足 0b ln 2
ab
223() (2)(1) ( )022
af b b a b a b b ()fx存两零点．
（iii）设 0a ＇( ) 0fx 1x ln( 2 )xa ．
2
ea ln( 2 ) 1a (1 )x 时＇( ) 0fx
()fx (1 ) 单调递增． 1x 时 ( ) 0fx ()fx存两零点．
2
ea ln( 2 ) 1a (1ln( 2 ))xa时 ＇( ) 0fx
(ln( 2 ) )xa 时 ＇( ) 0fx ． (1ln( 2 ))a 单调递减
(ln( 2 ) )a 单调递增． 1x 时 ( ) 0fx
()fx存两零点．综 a 取值范围(0 ) ．
（Ⅱ）妨设 12xx （Ⅰ）知 12( 1) (1 )xx 22 ( 1)x
()fx( 1) 单调递减 122xx等价 12( ) (2 )f x f x
2(2 ) 0fx． 22 2
2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x
2 2
2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x 222
2 2 2(2 ) ( 2)xxf x x e x e ．
设 2( ) ( 2)xxg x xe x e 2＇( ) ( 1)( )xxg x x e e ．
1x 时 ＇( ) 0gx (1) 0g 1x 时 ( ) 0gx ．
22( ) (2 ) 0g x f x 122xx．
44．解析（I）证明： 2 e2
xxfx x
2
22
2 4 ee 2 22
x
x xxfx x xx
∵ x 2 2 时 0fx
∴ fx 2 2 单调递增
∴ 0x 时 2 e 0 12
xx fx
∴ 2 e 2 0xxx
（Ⅱ） 33
( 2) ( 2) 2()(())
xx e a x xg x f x axx
（Ⅰ）知 ()f x a 单调递增意 01a (0) 1 0f a a
(2) 0f a a…存唯 (02]ax ( ) 0af x a ( ) 0agx
0 axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx ()gx单调递减
axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx 单调递增． ()gx axx 处取值值
22
( 1) ( )( 1)() 2
a a ax x x
a a a
a
a a a
e a x e f x x egx x x x
．
() 2
ax
a
eha x
2
( 1)( ) 02 ( 2)
xxe x e
xx
2
xe
x
单调递增．
(02]ax
0 2 21 ()2 0 2 2 2 2 4
ax
a
e e e eha x „
单调递增意
21(]24
e 存唯
( ) [01)aa f x ()ha ()ha 值域
21e
24
．
综 [01)a 时 值 值域 ．
45．解析（Ⅰ） ( ) 2 sin2 ( 1)sinf x a x a x ．
（Ⅱ） 1a … 时| ( ) | | sin2 ( 1)(cos 1) |f x a x a x
2( 1)aa„ 32a (0)f
32Aa．
01a时 ()fx变形 2( ) 2 cos ( 1)cos 1f x a x a x ．
令 2( ) 2 ( 1) 1g t at a t A | ( ) |gt [ 11] 值
( 1)ga(1) 3 2ga 1
4
at a
时 ()gt取极值
极值
221 ( 1) 6 1( ) 14 8 8
a a a ag a a a
．
令 1114
a
a
解 1
3a （舍） 1
5a ．
（ⅰ） 10 5a „ 时 [ 11] 极值点| ( 1)|ga| (1)| 2 3ga
| ( 1)| | (1)|gg 23Aa ．
（ⅱ） 1 15 a时 ( 1) (1) 2(1 ) 0g g a 知 1( 1) (1) ( )4
ag g g a
．
1 (1 )(1 7 )| ( ) | | ( 1) | 048
a a aggaa
21 6 1| ( ) |48
a a aAg aa
． 综
2
12 3 0 5
6 1 1185
3 2 1
aa
aaAaa
aa
„
…
．
（Ⅲ）（Ⅰ）| ()||2sin2 ( 1)sin | 2 | 1|f x a x a x a a „
10 5a „ 时|()|1 24 2(23)2f x a a a A 剟
1 15 a时 1318 8 4
aA a …| ( ) | 1 2f x a A „
1a … 时| ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A 剟 | ( ) | 2f x A „
46．解析（I） 3a≥
1x≤ 时 222 4 2 2 1 2 1 2 0x ax a x x a x
1x 时 2 2 4 2 2 1 2 2x ax a x x x a ．
等式 2( ) 2 4 2F x x ax a 成立 x 取值范围 22a ．
（II）（ i）设函数 ( ) 2 1f x x 2( ) 2 4 2g x x ax a
min( ) (1) 0f x f 2
min( ) ( ) 4 2g x g a a a
()Fx定义知 min 1 m a f g a
2
03 2 2
4 2 2 2
ama
a a a
≤ ≤
．
（ii）02x≤ ≤ 时
( ) ( ) max (0) (2) 2 (2)F x f x f f F≤ ≤
26x≤ ≤ 时
( ) ( ) max (2) (6) max 234 8 max (2) (6)F x g x g g a F F ≤ ≤ ．
34 8 3 4() 2 4
aaMa a
≤
≥ ．
47．解析（1） 12 2ab ( ) 2 2xxfx ①方程 ( ) 2fx 2 2 2xx 2(2 ) 2 2 1 0xx
2(2 1) 0x 21x 解 0x
②条件知 2 2 2 2(2)2 2 (2 2) 2(()) 2x x x xf x f x
(2 ) ( ) 6f x mf x xR 恒成立 ( ) 0fx
2( ( )) 4
()
fxm fx
恒成立
2( ( )) 4 4 4( ) 2 ( ) 4()()()
fx f x f xf x f x f x
2( (0)) 4 4(0)
f
f
4m 实数 m 值 4
（2）函数 ( ) ( ) 2g x f x 1 零点 00(0) (0) 2 2 0g f a b
0 函数 ()gx唯零点
( ) ln lnxxg x a a b b 0 1 1ab 知ln 0ln 0ab
( ) 0gx 唯解 0
lnlog ( )lnb
a
ax b
令 ()()h x g x ＇ 2 2( ) ( ln ln ) (ln ) (ln )x x x xh x a a b b a a b b
意 ( ) 0hx ()()g x h x () 单调增函数
0()xx 0( ) ( ) 0g x g x
0()xx 时 0( ) ( ) 0g x g x
函数 ()gx 0()x 单调减函数 0()x 单调增函数
证 0 0x
0 0x 0
0 02
xx 0( ) (0) 02
xgg
log 2 log 2 log 2(log 2) 2 2 0a a a
ag a b a 函数 0
2
x log 2a 端点
闭区间图象间断 间存 零点记 1x
01alog 2 0a 0 02
x 1 0x 0 函数 ()gx唯零点矛盾
0 0x 理 0
2
x log 2a 间存 非 0 零点矛盾
0 0x ln 1ln
a
bln ln 0ab 1ab ．
48．解析(Ⅰ)( ) (e 1) 2mxf x m x ．
0m≥ ( 0)x 时 10mxe ≤ ( ) 0fx
(0 )x 时 10mxe ≥ ( ) 0fx ．
0m < ( 0)x 时 10mxe ( ) 0fx
(0 )x 时 10mxe ( ) 0fx ．
()fx( 0) 单调递减(0 ) 单调递增．
(Ⅱ)(Ⅰ)知意 m [ 10] 单调递减[01] 单调递增．
()fx 0x 处取值．
意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) | 1f x f x e≤ 充条件：
(1) (0) 1
( 1) (0) 1
f f e
f f e
≤
≤ 1
1
m
m
e m e
e m e
≤
≤ ①
设函数 ( ) 1tg t e t e ( ) 1tg t e ．
0t < 时 ( ) 0gt 0t > 时 ( ) 0gt ．
()gt( 0) 单调递减(0 ) 单调递增．
(1) 0g 1( 1) 2 0g e e [ 11]t 时 ( ) 0gt≤ ．
[ 11]m 时 ( ) 0 ( ) 0g m g m≤ ≤ ①式成立
1m > 时 ()gt单调性 ( ) 0gm> 1me m e
1m 时 ( ) 0gm 1me m e
综 m 取值范围[ 11] ．
49．解析：（Ⅰ）题意知 函数 )(xf 定义域 )1( 1
12)12(1
1)(
2
x
aaxaxxaxxf
令 2( ) 2 1g x ax ax a ( 1 )x
（1） 0a 时 1)( xg
时 0)( xf 函数 )(xf )1( 单调递增极值点
（2） 0a 时 )89()1(82 aaaaa
①
9
80 a 时 0 0)( xg
0)( xf 函数 单调递增极值点
②
9
8a 时 0
设方程 012 2 aaxax 两根 )( 2121 xxxx
2
1
21 xx
1
1
4x 2
1
4x
01)1( g
4
11 1 x
)1( 1xx 时 0)(0)( xfxg 函数 )(xf 单调递增
)( 21 xxx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
2()xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递增
函数两极值点
（3） 0a 时 0
01)1( g 11 x
)1( 2xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递增
2()xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
函数极值点
综述： 时函数 极值点
9
80 a 时函数 极值点
9
8a 时函数 )(xf 两极值点
（II）（I）知
（1）
9
80 a 时函数 )0( 单调递增
0)0( f )0( x 时 0)( xf 符合题意
（2） 19
8 a 时 0)0( g 02 x
函数 单调递增
时 符合题意
（3） 1a 时 0)0( g 02 x
2(0 )xx 时函数 )(xf 单调递减
)0( 2xx 时 0)( xf 合题意
（4） 0a 时设 )1ln()( xxxh
)0( x 时 011
11)(
x
x
xxh
)(xh )0( 单调递增
时 ( ) (0) 0h x h xx )1ln(
xaaxxxaxxf )1()()( 22
ax 11 时 0)1(2 xaax
时 0)( xf 合题意
综述 a 取值范围 ]10[．
50．解析（1）＇( ) sin cosax axf x ae x e x ( sin cos )axe a x x 2 1 sin( )axa e x
中 tan 1
a
0< < 2
．
令 ()fx 0 x 0 + mx m m *N．
k N 2k < + <( 21k + ) < <( ) ＇()fx>0 （ 21k + ） < x + <( 22k + )（ ） < <( ) ＇()fx<0．
区间（( 1)m m ）（ ） 符号总相反．
( m *N )时 ()fx取极值 *() nxn nN
时 1 sin( )() ( 1) sin a n a nn
nx e nf e 易知 ()nf x 0
1
1
2
1
()( 1)
() (1
s n
in)
i
s
an
ax
n
n
n
an
n
f ef
x e
x e
常数数列 ()nf x 首项
1()f x sinane 公 axe 等数列
（2）（1）知sin
2
1
1a
切 *nN nx <| ()nf x |恒成立
2
1
1
an
a
ne
恒成立
等价
2 1 ana e
a an
（*）恒成立（ a >0）
设 ()gt
te
t
（ 0t > ） 2
( 1)te
tgt t（） ．令 gt（） 0 t 1
0< <1 时 ( ) 0gt 区间（01）单调递减
>1 时 ( ) 0gt 区间（01）单调递增．
1 时函数 取值 (1) eg ．
（*）式恒成立需
2
()1 1ga ea 需
2
1
1
a
e
2
1
1e
时 tan 1
a 2 1e 3 0 2
．
22 13 e n 2≥ 时 22 13
2 en ．
切 *nN
2
1
1nx
e
na
()ng ax
2 1(1) age a
．
（*）式恒成立． 综述
2 1
1a
e
切 *nN ( ) ||nnxxf 恒成立．
51．解析（Ⅰ） ＇( )fx 236x x a＇(0)fa
曲线 ()y f x 点（02）处切线方程 2y ax．
题设 2 2a 1a ．
（Ⅱ）（Ⅰ）知 32( ) 3 2f x x x x
设 ()gx ( ) 2f x kx 323 (1 ) 4x x k x 题设知10k．
x ≤0 时 ＇( )gx 23 6 1 0x x k 单调递增
( 1) 1 0 (0) 4g k g 0 0 唯实根．
0x 时令 32( ) 3 4h x x x ( ) (1 ) ( )h x k x h x ．
2＇( ) 3 6 3 ( 2)h x x x x x ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增
( ) ( ) (2) 0g x h x h ( ) 0gx (0 ) 没实根
综 ()gx0 R 唯实根曲线 ()y f x 直线 2y kx交点．
52．解析（Ⅰ）函数 y f x 定义域(0 )
2
42
2 2 1()()
xxe x xef x kx x x
3
( 2)( ) ( 0)
xx e kx xx
0k 0xe kx
(02)x 时 ( ) 0fx 函数 ()y f x 单调递减
(2 )x 时 ( ) 0fx 函数 单调递增
()fx单调递减区间(02) 单调递增区间(2 )
（Ⅱ）（Ⅰ）知 0k 时 单调递减
存极值点
0k 时设函数 xg x e kx[0 )x ln() x x kg x e k e e ． 01k时 (02)x 时 ( ) 0xg x e k 函数 y g x 单调递增
()fx(02) 存两极值点
1k 时
x (0ln )k ln k (ln )k
gx 0
()gx
函数(02) 存两极值点
仅
(0) 0
(ln ) 0
(2) 0
0 ln 2
g
gk
g
k
解
2
2
eek
综函数 fx 02 存两极值点时 k 取值范围
2
()2
ee ．
53．解析（Ⅰ） ( ) (1 )af x a x bx
题设知 (1) 0f 解 1b ．
（Ⅱ）()fx定义域(0 ) （Ⅰ）知 21( ) ln 2
af x a x x x
1() (1)1 ( )(1)1
a a af x a x x xx x a
（ⅰ） 1
2a 11
a
a
(1 )x 时 ( ) 0fx ()fx(1 )
单调递增存 0 1x 0() 1
afx a
充条件 (1) 1
af a
1 121
aa
a
解 2 1 2 1a ．
（ii） 1 12 a 11
a
a
(1 )1
ax a
时 ＇( ) 0fx
()1
ax a
时 ( ) 0fx (1 )1
a
a
单调递减()1
a
a
单调
递增．存 充条件 ()11
aaf aa
2
( ) ln1 1 2(1 ) 1 1
a a a a afaa a a a a
合题意． （iii） 1a 11(1) 12 2 1
aaaf a
．
综 a 取值范围( 2 1 2 1) (1 ) ．
54．解析（Ⅰ）题意知 0a 时 1( ) (0 )1
xf x xx
时 2
2() ( 1)fx x
1(1) 2f (1) 0f
曲线 ()y f x (1 (1))f 处切线方程 2 1 0xy ．
（Ⅱ）函数 ()fx定义域(0 )
2
22
2 (2 2)() ( 1) ( 1)
a ax a x afx x x x x
0a 时 ( ) 0fx 函数 单调递增
0a 时令 2( ) (2 2)g x ax a x a
22(2 2) 4 4(2 1)a a a
① 1
2a 时 0
2
2
1 ( 1)2( ) 0( 1)
x
fx xx
函数 ()fx 单调递减
② 1
2a 时 0 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
③ 1 02 a 时 0
设 1 2 1 2()x x x x 函数 ()gx两零点
1
( 1) 2 1aax a
2
( 1) 2 1aax a
1
1 2 1aax a
2 2 1 2 1 0a a a
a
1(0 )xx 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递减
12()x x x 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递增 2()xx 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 ()fx单调递减
综知 0a 时函数 ()fx (0 ) 单调递增
1
2a 时函数 单调递减
1 02 a 时 ( 1) 2 1(0 )aa
a
( 1) 2 1()aa
a
单调
递减 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1()a a a a
aa
单调递增．
55．解析（Ⅰ） 2( ) 2f x x x a 方程 2 20x x a 判式： 44a ．
∴ 1a≥ 时 0≤ ∴ ( ) 0fx ≥ 时 ()fx() 增函数．
1a 时方程 2 20x x a 两根 11a ．
( 1 1 )xa 时 ( ) 0fx ∴时 ()fx增函数
( 1 1 1 1 )x a a 时 ( ) 0fx ∴时 减函数
( 1 1 )xa 时 ∴时 增函数
综 1a≥ 时 ()fx 增函数
时 ()fx单调递增区间( 1 1 )a ( 1 1 )a ．
()fx单调递减区间( 1 1 1 1 )aa ．
（Ⅱ） 3 2 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1()() 1()()()12 3 3 2 2 2f x f x x ax a
3 3 2 2
0 0 0
1 1 1 1()()()3 2 2 2x x a x
2 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )3 2 2 4 2 2 2
xx x x x a x
2
00
00
1 1 1( )( )2 3 6 12 2
xxx x a
2
0 0 0
11( )(4 14 7 12 )12 2x x x a ∴存 0
11(0 ) ( 1)22x 0
1()()2f x f
必须 2
004 14 7 12 0x x a 11(0 ) ( 1)22
解
∵ 0a ∴ 214 16(7 12 ) 4(21 48 ) 0aa
方程两根： 14 2 21 48 7 21 48
84
aa ∵ 0 0x
∴ 0x 7 21 48
4
a
题意 7 21 48014
a 7 21 48 11a
∴ 49 21 48 121a 25 7
12 12a
7+ 21 48 142
a 5
4a 欲满足题意 0x 存 5
4a ．
∴ 25 5 5 7()()12 4 4 12a 时存唯 满足
0
1()()2f x f ．
25 7 5( ] [ 0)12 12 4a
时存
．
56．解析（Ⅰ） xR( ) e e ( )xxf x f x ∴ ()fx R 偶函数
（Ⅱ）题意 (e e ) e 1x x xmm ≤ (e e 1) e 1x x xm ≤
∵ (0 )x ∴e e 1 0xx e1
e e 1
x
xxm
≤ (0 )x 恒成立
令 e ( 1)xtt 2
1
1
tm tt
≤ 意 (1 )t 恒成立
∵ 22
1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) 1 1 3111
tt
t t t t t t
≥
仅 2t 时等号成立
∴ 1
3m ≤ （Ⅲ）＇( ) e exxfx 1x 时 ＇( ) 0fx ∴ ()fx (1 ) 单调增
令 3( ) ( 3 )h x a x x ＇( ) 3 ( 1)h x ax x
∵ 01ax∴ ＇( ) 0hx ()hx (1 )x 单调减
∵存 0 [1 )x 3
0 0 0( ) ( 3 )f x a x x ∴ 1(1) e 2efa
11e2ea
∵
e1
e 1 1
1ln ln ln e (e 1)ln 1e
a
a
a a a a
设 ( ) (e 1)ln 1m a a a e 1 e 1 1 1＇( ) 1 e2e
am a aaa
11e e 12ea 时 ＇( ) 0ma ()ma 单调增
e1a 时 ＇( ) 0ma 单调减
两零点 (1) (e) 0mm
∴ ea 时 ( ) 0ma e 1 1eaa
11ee2ea 时 e 1 1eaa
ea 时 ( ) 0ma e 1 1eaa ．
57．解析（I） 2( ) ( ) 2 4f x e ax a b x ．已知 (0) 4f (0) 4f ．
4b 8ab． 4ab
(II) （I）知 2( ) 4 ( 1) 4xf x e x x x
1( ) 4 ( 2) 2 4 4( 2)( )2
xxf x e x x x e
令 ( ) 0fx ln 2x 2x ．
( 2) ( 1 2 )xn 时 ( ) 0fx ( 2 1 2)xn ( ) 0fx ．
()fx( 2) ( ln 2 ) 单调递增( 2 ln 2) 单调递减．
2x 时函数 ()fx取极值极值 2( 2) 4(1 )fe ．
58．解析（Ⅰ） fx定义域 2xf x e x x ① 0x 2x 时 0fx 02x 时 0fx
fx 0 2 单调递减 02 单调递增．
0x 时 fx取极值极值 00f 2x 时 fx取极
值极值 224fe ．
（Ⅱ）设切点 t f t l 方程 y f t x t f t
l x 轴截距
22322
ft tm t t t tf t t t
已知① 0 2t
令 2 0h x x xx 0x 时 hx取值范围[2 2 )
2x 时 hx取值范围 3 ．
0 2t 时 mt取值范围 0 [2 2 3 ) ．
综l x 轴截距取值范围 ．
59． 解析（Ⅰ） 1 x
af x x e 1 x
afx e
．
曲线 y f x 点 1 1f 处切线行 x 轴
10f 10a
e解 ae ．
（Ⅱ）
① 0a 时 0fx fx 增函数函数 fx极值．
② 0a 时令 0fx xea lnxa ．
lnxa 0fx ln xa 0fx ．
ln a 单调递减 ln a 单调递增
fx lnxa 处取极值极值 ln lnf a a 极值．
综 0a 时函数 极值
处取极值ln a 极值． （Ⅲ） 1a 时 11 xf x x e
令 111 xg x f x kx k x e
直线l ： 1y kx曲线 y f x 没公点
等价方程 0gx R 没实数解．
假设 1k 时 0 1 0g 1
1
11101 k
g k e
函数 gx图象连续断零点存定理知 0gx R 少解
方程 0gx R 没实数解矛盾 1k ．
1k 时 1 0xgx e知方程 0gx R 没实数解．
k 值1．
解法二：（Ⅰ）（ Ⅱ）解法．
（Ⅲ） 1a 时 11 xf x x e ．
直线 ： 曲线 没公点
等价关 x 方程 111xkx x e R 没实数解关 x 方程：
11 xkxe （*）
没实数解．
① 1k 时方程（*）化 1 0xe 没实数解．
② 1k 时方程（*）化 1
1
xxek
．
令 xg x xe 1 xg x x e ．
令 0gx 1x
x 变化时 gx 变化情况表：
1 1 1
gx 0 gx
1
e
1x 时 min
1gx e 时 x 趋 时 gx趋
gx取值范围 1 e
．
111ke
时方程（*）实数解解 k 取值范围 1 1e ．
综 k 值1．
60． 解析（Ⅰ）函数 ()fx定义域(0＋∞)．
() 2ln (2ln 1)f x x x x x x 令 ()fx ＝0 1
e
x
x 变化时f′(x) 变化情况表：
x 10
e
1
e
1
e
()fx － 0 ＋
极值
函数 单调递减区间 单调递增区间
（Ⅱ）证明：01x ≤ 时 ≤0
设 0t 令 ()()h x f x t[1 )x ．
(1)知 ()hx 区间(1 ) 单调递增．
(1) 0ht 22( ) ln ( 1) 0t t t th e e e t t e ．
存唯 (1 )s ()t f s 成立．
（Ⅲ）证明： ()s g t (2)知 ()t f s 1s
2
ln ( ) ln ln ln
ln ln ( ) ln( ln ) 2ln ln(ln ) 2 ln
g t s s s u
t f s s s s s u u
中 lnus ．
2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t成立需0 ln 2
uu
2te 时 ()s g t e ≤ ()fs单调性 2()()t f s f e e≤ 矛盾．
se 1u ln 0u 成立． 方面令 ( ) ln 2
uF u u 1u ． 11() 2Fu u
令 ( ) 0Fu 2u ．
12u( ) 0Fu 2u 时 ( ) 0Fu
( 0 (2) 0F u F ≤ ．
ln 2
uu 成立．
综 2te 时 2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t
61．解析（Ⅰ）题 1＇( ) 0f x ax )1( 恒成立 1a x )1( 恒成立
1a＇( ) xg x e a
0a ＇( ) 0xg x e a )1( 恒成立 )(xg )1( 递增
()gx )1( 没值 0a lnxa 时 ＇( ) 0gx
＇( ) xg x e a )1( 递增 lnxa 时 ＇( ) 0gx )(xg 递增
lnxa 时 ＇( ) 0gx )(xg 递减 lnxa )(xg 疑极点
题ln 1a ae
综 a 取值范围 ae ．
（Ⅱ）题 ＇( ) 0xg x e a ( 1 ) 恒成立
xea ( 1 ) 恒成立 1a e
( ) ln 0( 0)f x x ax x ln ( 0)xaxx
令 ln( ) ( 0)xh x xx 2
1 ln＇( ) ( 0)xh x xx
0 xe时 ＇( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递增
xe 时 ＇( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递减
xe时 ln( ) ( 0)xh x xx值 1
e
01x时 ln( ) 0xhx x 1x 时 ln( ) 0xhx x
作出 ln( ) ( 0)xh x xx致图象 x
y
1
e
eO
图知： 0a 1a e 时 )(xf 零点 1 10 a e时 )(xf 零点
2
62．解析（Ⅰ） ()fx定义域() () xf x e a ．
0a „ ( ) 0fx 单调递增．
0a ( ln )xa 时 ( ) 0fx (ln )xa
( ln )a 单调递减(ln )a 单调递增．
（Ⅱ） 1a (x－k) f´(x)+x+1 ( )( 1) 1xx k e x ．
0x 时(x－k) f´(x)+x+1>0 等价
1
1x
xkxe
（ 0x ） ①
令 1() 1x
xg x xe
22
1 ( 2)( ) 1( 1) ( 1)
x x x
xx
xe e e xgx ee
（Ⅰ）知函数 ( ) 2xh x e x (0 ) 单调递增． (1) 0 (2) 0hh ()hx
存唯零点 ()gx 存唯零点设零点
(12) ． (0 )x 时 ( ) 0gx ()x 时 ( ) 0gx ()gx
值 ()g ( ) 0g 2e ( ) 1 (23)g
①等价 ()kg 整数 k 值 2．
63．解析（Ⅰ）设 ( 1)xt e t
22
22
1 1 1aty at b y aat at at
① 1a 时 0y 1y at bat 1t 增函数
： 1( 0)tx时 ()fx值 1aba
②01a时 1 2y at b bat
仅 11( ln )xat t e x aa 时 值 2b
（Ⅱ） 11()()xx
xxf x ae b f x aeae ae
题意：
2
2 2
2
2
1 2(2) 3 3
3 13 1(2) 2 2 2
f ae b aae e
f ae bae
．
64．解析（Ⅰ） ()fx xe
kx ln )(xf xe
xkx ln1
0)1( f
01
e
k 解 1k
（Ⅱ） xe
xx ln11
令 0)( xf 1x
10 x 时 0ln11)( xxxf 1x 时 0ln11)( xxxf ．
)(xf 区间 )10( 增函数 )1( 减函数
（Ⅲ） xx e
xxxx
e
xxxxxg ln)(1ln11
)()(
22
2
1(1 ln ) (0 )x
x x x x xe
意 0x 21 exg 等价 2(1 ln ) (1 )1
xex x x ex
设 ( ) 1 ln (0 )h x x x x x
2( ) ln 2 (ln ln )h x x x e
2(0 )xe 时 ( ) 0 ( )h x h x 2()xe 时 ( ) 0 ( )h x h x
22
max( ) ( ) 1h x h e e 2(1 ln ) 1x x x e
设 ( ) ( 1)xx e x 0( ) 1xxx e e e
∵ 0x ∴ ( ) 0x ()x ∴ ( ) (0) 0x 11
xe
x
∴ 2(1 ln ) (1 )1
xex x x ex
意 0x 21 exg
65． 解析（Ⅰ） 22
1( ln )
＇( ) ( 1)
x x bxfx xx
直线 2 3 0xy 斜率 1
2 点 (11)
(1) 1
1＇(1) 2
f
f
1
1 22
b
a b
解 1a 1b ．
（Ⅱ）（Ⅰ）知 ln 1() 1
xfx xx
)1ln2(1
1
1
ln)(
2
2 x
xxxx
xxf
考虑函数 ( ) 2lnh x xx
x 12 ( 0)x
2
2
2
22 )1()1(22)( x
x
x
xx
xxh
1x 时 0)1(0)( hxh
)10(x 时 0)(1
10)( 2 xhxxh
)1( x 时 0)(1
10)( 2 xhxxh
1
ln)(01
ln)(10 x
xxfx
xxfxx
66．解析（Ⅰ） 22( ) ln 0f x a x x ax x 中
2 ( )(2 )( ) 2a x a x af x x axx
0a ()fx增区间(0 )a 减区间()a
（Ⅱ）证明：题意 (1) 1 1f a c a c
（Ⅰ）知 ( ) [1 ]f x e 单调递增 21 ( ) [1 ]e f x e x e 恒成立
2 2 2
(1) 1 1
()
f a e
f e a e ae e
解 ae
67．解析（Ⅰ） ( ) 2fe 2b
（Ⅱ）（Ⅰ） ( ) 2 ln f x ax ax x ＇( ) ln f x a x 0a ：
（1） 0a 时 ( ) > 0fx >1x ( ) < 0fx <
综 0a 时函数 ()fx单调递增区间(1 ) 单调递减区间(01)
0a 时函数 ()fx单调递增区间 单调递减区间(1 ) ．
（Ⅲ） 1a 时 ( ) 2 lnf x x x x ＇( ) lnf x x ．
（Ⅱ） x 区间 1()ee
变化时 ＇( ) ( )f x f x 变化情况表：
x 1
e 1( 1)e 1 (1 )e e
＇( )fx － 0 +
()fx 22 e 单调递减 极值 1 单调递增 2
222e函数 ()fx 1( [ ])xee 值域[12]．
1
2
m
M
[]t m M 直线 yt 曲线 ()y f x
1( [ ])xee 公点． ()()t m M 直线 yt
曲线 ()y f x 1( [ ])xee 没公点．
综 时存实数 m 1实数 M 2 []t m M
直线 曲线 1( )( [ ])y f x x ee公点． 68．解析（Ⅰ） 1
2a 时 21( ) ( 1) 2
xf x x e x
＇( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x ． 1x 时 ＇( )fx
10x 时 ＇( ) 0fx 0x 时 ＇( ) 0fx ．
()fx 1 0 单调增加( 10) 单调递减．
（Ⅱ） ( ) ( 1 )af x x x ax ．令 ( ) 1ag x x ax ＇( ) xg x e a． 1a
0x 时 ＇( )gx()gx减函数 (0) 0g x≥0 时
≥0 ≥0． a 0lnxa 时 ＇( )gx
减函数 时 ＜0 ＜0．
综合 a 取值范围 1 ．
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档